¿Es esta una interpretación correcta de soporte en geometría gruesa?

Question

Sea $X = \mathbb{R}^n$, y considera una representación no degenerada $\rho: C_0(X) \to B(H)$ donde $B(H)$ es el álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert separable. El soporte de un vector $v \in H$ se define como el complemento en $X$ de la unión de todos los conjuntos abiertos $U$ tales que $\rho(f)v = 0$ para cada $f \in C_0(U)$.

Supongamos que $v$ tiene soporte compacto. Mi intuición es que cualquier función $g \in C_0(X)$ que se restrinja a la función cero en $supp(v)$ debería cumplir $\rho(g)v = 0$, pero no logro probarlo. Hasta ahora tengo lo siguiente.

Sea $\mathcal{F}$ la colección de conjuntos abiertos $U$ tales que $\rho(f)v = 0$ para $f \in C_0(U)$. Por definición, $V = supp(v)^c$ es la unión de los conjuntos abiertos en $\mathcal{F}$, y además un simple argumento de partición de la unidad muestra que $\mathcal{F}$ es cerrado bajo uniones finitas. Si podemos demostrar que $V \in \mathcal{F}$ entonces habremos terminado porque según las hipótesis $g \in C_0(V)$. Estoy seguro de que me estoy perdiendo algo simple; ¿alguien puede ayudar?

Este resultado debería ser cierto si $X$ es cualquier espacio métrico separable equipado con una estructura gruesa adecuada, por lo que supongo que el marco adecuado para esta pregunta es la geometría métrica. Eso debería explicar el título de la pregunta y las etiquetas.

Answer 1

Editar He corregido la prueba para cubrir el caso general siguiendo una sugerencia de Matthew Daws.

Por la definición de $supp(v)$, para cualquier $x$ en $supp(v)^c$ existe un conjunto abierto $U(x)\subset supp(v)^c$ que contiene a $x$ tal que $\rho(f)v=0$ para todo $f\in C_0(U(x)).$ Si $g$ tiene soporte compacto $K\subset supp(v)^c,$ hay un subconjunto finito $U_1,\ldots,U_m$ de $\{U(x)\}$ que cubre $K.$ Usando una partición de la unidad, $g=g_1+\ldots+g_M$ donde $g_i\in C_0(U_{k(i)})$. Por lo tanto, $\rho(g)v=\sum_i \rho(g_i)v=0.$ En general, por el lema a continuación, podemos aproximar $g$ por una secuencia $\{g_n\}$ de funciones continuas con soporte compacto disjunto de $supp(v),$ entonces $\rho(g)v=\rho(\lim g_n)v=\lim \rho(g_n)v=0.\square$

Lema Supongamos que $L\subset X$ es compacto y $g\in C_0(X)$ se restringe a la función cero en $L.$ Entonces $g=\lim g_n,$ donde $g_n\in C_0(X)$ tiene soporte compacto disyunto de $L.$

Prueba La función $g_n$ se obtiene de $g$ mediante un corte suave a una distancia de $1/n$ de $L.$ La propiedad de aproximación sigue del hecho de que $g$ se anula en $L.

Más formalmente, sea $h:\mathbb{R}\to [0,1]$ una función continua tal que $h(y)=0$ para $y\leq 1$, $h(y)=1$ para $y\geq 2.$

         \_\_\_
        /
       /
      /     h(x)
 \_\_\_\_/
    1   2

Dado que $L$ es compacto, la función de distancia $d_X(\cdot,L)$ está bien definida y es continua. Sea $L_n$ el $1/n$-entorno abierto de $L$ en $X$. Se define

$$g_n(x)=h(nd_X(x,L))g(x).$$

Por construcción, $g_n$ se anula en $L_n$ y coincide con $g$ en $L_{2n}^c$. Su soporte es compacto y está contenido en $L_n^c$. Además,

$$ \|g-g_n\|\leq \sup_{x\in {L}_{2n}} |g(x)|.$$

El lado derecho es una secuencia no negativa y monótona decreciente. Supongamos que existe una secuencia de puntos $x_n\in L_{2n}$ tal que $g(x_n)$ está lejos de ser cero. Dado que $g$ tiene soporte compacto, esta secuencia tiene un punto de acumulación $x.$ Luego, $x\in L$ y así $g(x)=0,$ lo cual es una contradicción. $\square$

Answer 2

Si $\rho$ es un *-homomorfismo, entonces estaría tentado a usar un poco de teoría de C*-álgebra. Elija una familia maximal $\{v_i\}$ de vectores unitarios en $H$ de manera que $H_i = \overline{\operatorname{lin}}\{ \rho(f)v_i : f\in C_0(X) \}$ sean mutuamente ortogonales. Entonces hay una medida de probabilidad $\mu_i$ en X tal que $(\rho(f)v_i|v_i) = \mu_i(f)$ para $f\in C_0(X)$, y cada $H_i$ es unitariamente equivalente a $L^2(X,\mu_i)$, con $\rho$ siendo transformado a la acción canónica de $C_0(X)$ en $L^2(X,\mu_i).

Es decir, H es simplemente la suma directa de espacios $L^2(X,\mu)$. Por lo tanto, por el momento, supongamos que H es $L^2(X,\mu)$. Me preocupa un poco que la condición $f\in C_0(U)$ sea un poco más débil que $f$ teniendo el soporte contenido en $U$, pero modulo algunos detalles, seguramente la definición de "soporte" en la publicación original es la misma que la definición usual de soporte para una medida. Si entonces $g\in C_0(X)$ se anula en el soporte, entonces inmediatamente $\int_X |g| d\mu = 0$ (si uno cree en Wikipedia).

Si $H$ es la suma directa de $L^2(X,\mu)$, y $v=\sum a_i v_i$ digamos, entonces si $J=\{i:a_i\not=0\}$ tenemos que $\rho(f)v=0$ si y solo si $\rho(f)v_j=0$ para todos los $j\in J$. Entonces las cosas se complican un poco aquí, ya que si $J$ es infinito, el soporte de $v$ probablemente sea el cierre de la unión de los soportes de los $\mu_j$, para $j\in J. Pero si $g\in C_0(X)$ luego se anula en esto, tiene que anularse en $supp(\mu_j)$ para todos los $j\in J$, lo cual es suficiente para mostrar que $\rho(g)v_j=0$ para todos los $j$, mostrando que $\rho(g)v=0.

Pero, parece que este argumento no es más fácil que el de Víctor...