Podemos usar la integración de contorno, pero tenemos que tener un poco de cuidado con ello.
Comencemos notando que el integrando es una función par, por lo que evaluaremos
$I=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\sinh x}{x\cosh^2x}~dx$
y tomaremos la mitad de este resultado. De esta manera, el contorno accede al infinito en ambos extremos del rango de integración deseado, lo que facilita el uso de la integración de contorno.
Un contorno semicircular que a menudo se utiliza con este rango de integración doblemente infinito es problemático porque el integrando no será $o(1/z)$ sobre toda la semicircunferencia. Violamos la relación pequeña-$o$ en el eje imaginario donde hay infinitas singularidades.
Por lo tanto, diseñamos un contorno más refinado: un rectángulo con esquinas en $-N, +N, +N+(2\pi N)i, -N+(2\pi N)i$. Al recorrer el rectángulo en sentido antihorario y aplicar el Teorema de los Residuos, obtenemos
$I(1) + I(2) + I(3) + I(4)=2\pi i\sum _{k=0}^{2N} R[(2k+1)\pi i/2]$
donde la trayectoria de integración para $I(1)$ va de $-N$ a $+N$, la trayectoria para $I(2)$ va de $+N$ a $+N+(2\pi N)i$, y así sucesivamente alrededor de los lados restantes del rectángulo para $I(3)$ y $I(4)$. Entonces, la integral requerida es el límite de $I(1)$ cuando $N\to\infty$, que coincide con la suma de residuos siempre que $I(2), I(3), I(4)$ vayan a cero en este límite.
Para verificar el límite cero para $I(2)$, consideramos (los límites representan el comportamiento asintótico cuando $N\to\infty$):
$|\sinh(N+iy)|=\sqrt{\sinh^2N+\sin^2y}\to e^{N/2}$
$|\cosh(N+iy)|=\sqrt{\cosh^2N-\sin^2y}\to e^{N/2}$
Por lo tanto, dado que la longitud del lado es $2\pi N$, la Desigualdad del Triángulo garantiza
$|I(2)|\le\dfrac{2\pi\sqrt{\sinh^2N+\sin^2y}}{(\cosh^2N-\sin^2y)}\to 2\pi e^{-N/2}\to0$
Un análisis similar elimina $I(4)$ a medida que $N\to\infty$.
Para $I(3)$ utilizamos el hecho de que las funciones hiperbólicas son periódicas, por lo que para los valores seleccionados de $y$ coinciden con los valores de argumento real en $x$. Por lo tanto,
$|\dfrac{\sinh z}{z\cosh^2 z}|=|\dfrac{\sinh x}{z\cosh^2 x}|<\dfrac{1}{y\cosh x}<[1/(2\pi N)]e^{-|x|/2}$
$|I(3)|<[1/(2\pi N)]\int_{-N}^Ne^{-|x|/2}dx\to0$ (la integral está acotada cuando $N\to\infty$.)
Así que tenemos
$I=\lim_{N\to\infty}(I(1))=2\pi i\sum _{k=0}^\infty R[(2k+1)\pi i/2]$
y queda encontrar los residuos.
Para encontrar estos residuos $R[(2k+1)\pi i/2]$, es conveniente definir un parámetro de diferencia $\delta$ en cada una de estas singularidades. Dado que las singularidades son polos de segundo orden, necesitamos llevar la expansión de la serie de Laurent a dos términos.
Por lo tanto, en cada singularidad $z=(2k+1)\pi i/2$, obtenemos la siguiente serie de Laurent:
$\sinh z = (-1)^ki+0\delta+O(\delta^2)$
$\dfrac{1}{\cosh^2 z} = 1/\delta^2+0/\delta+O(1)$
$(1/z)=\dfrac{-2i}{(2k+1)\pi}-\dfrac{4}{(2k+1)^2\pi^2}\delta+O(\delta^2)$
Y al multiplicar estos:
$\dfrac{\sinh z}{z\cosh^2z}=\dfrac{2(-1)^k(2k+1)}{\pi\delta^2}\color{blue}{-\dfrac{4(-1)^ki}{(2k+1)^2\pi^2\delta}}+O(1)$
de donde obtenemos los residuos
$R[(2k+1)\pi i/2]=\dfrac{-4(-1)^ki}{(2k+1)^2\pi^2}$
Así que
$I=\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\sinh x}{x\cosh^2x}~dx=(8/\pi)\color{blue}{\sum _{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)^2}}$
donde la serie azul define directamente la constante de Catalan $G$. Así que $I=8G/\pi$ y el valor halved en el problema original se convierte en
$\int_0^\infty\dfrac{\sinh x}{x\cosh^2x}~dx=4G/\pi.$
