Diferenciación de la integral del producto de funciones

Question

Para $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones de densidad de probabilidad y $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la función de distribución acumulada de $f$, ¿debe $\frac{d}{da}\int_{-\infty}^{\infty}F(a-y)g(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}f(a-y)g(y)dy$?

Answer 1

Sí, y la prueba es muy simple. Integra el lado derecho y aplica el Teorema de Fubini para ver que la integral en el lado izquierdo es la integral indefinida del lado derecho. Por lo tanto, el primero es diferenciable y la ecuación se cumple. Estoy escribiendo la prueba en palabras porque la demostración es tan simple.