¿Qué es tan especial acerca de $p=2$ $L^p$ espacios?

Question

El espacio de Banach duales de $L^p$ $L^q$ donde $q=\frac{p}{p-1}$, pero yo realmente no entiendo cuál es la motivación detrás de esta. En particular, me parece una especie de sorprendente que la única $L^p$ espacio cuyo doble es isomorfo $L^p$$p=2$. Así que supongo que me pregunto ¿qué tiene de especial el número 2 en el contexto de $L^p$ espacios, o más bien, donde la fórmula $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$ originalmente viene de / es motivado por.

Edit: entiendo que $p=2$ da el único espacio de Hilbert, pero me pregunto si hay algún tipo de razón más profunda detrás de la relación entre el $p$ $q$ - - - $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$ surgir naturalmente de la integración de la teoría en una forma más satisfactoria que "simplemente es así"?

Answer 1

Me elaborar un comentario en una de las otras respuestas.

Considere la posibilidad de una medida de espacio $(X,\mathcal{M},\mu)$, lo que establece de forma arbitraria la medida pequeña y establece de forma arbitraria gran medida. (Aquí pienso en la medida de Lebesgue en la recta real.) Deje $1 \leq q < \infty$ y elija

$$g \in L^q \setminus \bigcup_{p \in [1,\infty), p \neq q} L^p.$$

Esto es complicado, pero factible. $f \in L^1$, pero $f \not\in L^p$ todos los $p > 1$ maneja el caso de $q=1$, y dado que mi suposición sobre la medida de espacio, usted puede hacer algo similar para obtener mayor $q$. Deje $\phi(f) = \int_X fg d \mu$.

Consideremos ahora una función en $L^p$, lo que hace que $\phi(f)$ "grandes". Específicamente tomamos $f=|g|^{q/p} \text{sign}(g)$. El punto es que este es automáticamente en $L^p$ desde $g \in L^q$, pero es también un gran exactamente donde $g$ es grande.

Ahora si $\frac{q}{p} + 1 = q$$\phi(f)=\| g \|^q_{L^q}$. Sin embargo, lo contrario $\phi(f)$ es infinito! Es decir, $\phi$ es sólo limitado en $L^p$ si $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Answer 2

Para ampliar un poco sobre la respuesta estándar ("$p=2$ es un espacio de Hilbert y espacios de Hilbert son buenas"), vamos a hablar de por qué Hilbert espacios son agradables. Una de las principales característica de Hilbert espacios es que son auto dual. Esto se expresa a través de la representación de Riesz teoremaque dice que si quiero definir claramente delimitado, lineal mapa de $\phi:L^2\rightarrow \Bbb{C}$, sólo tengo que encontrar el derecho de la función $g_\phi\in L^2$, y, a continuación, voy a tener la expresión

$$ \phi(f) = \langle f,g_\phi\rangle = \int_{\Bbb{R}^n} f(x)\bar{g}_\phi(x)dx $$

El exponente conjugado de la expresión

$$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 $$

viene de querer calcular expresiones que se parecen a $\langle f,g\rangle$:

$$ \int_{\Bbb{R}^n} f(x) \bar{g}(x)dx $$

pero en el caso de que $f\in L^p$ cualquier $p$, no necesariamente 2! La razón por la que hacemos esto es que también queremos definir delimitada lineal mapas de $\phi:L^p\rightarrow\Bbb{C}$, pero si $f\in L^p$, la expresión

$$ \phi(f) = \int_{\Bbb{R}^n}f(x)\bar{g}(x)dx $$ will only define a bounded linear map (i.e. the product will be an $L^1$ integrable function for all $f\en L^p$) when $g\en L^{p}$ where $p$ and $p$ satisfy the conjugate exponent equation. Another way of expressing this is that the dual of $L^p$ is $L^q$, where $1/p+1/q = 1$, i.e. a version of the Riesz representation theorem holds for $L^p$, but $g_\phi\en L^q$ instead of $L^p$.

Véase también el Titular de la desigualdad.

Answer 3

Yo creo que en parte es debido a la Titular de la desigualdad, que dicta que $$ |fg|_{1}\le |f|_{p}|g|_{q} $$ Pero las otras razones entra en este es mucho más profundo. Por ejemplo, esta dualidad es "estructural" como se tiene independientemente de la medida que el espacio es $\sigma$-finito. Y esto tiene que ver con conceptos como la convexidad uniforme. Yo solía preguntando la misma cosa, cuando yo estaba aprendiendo el tema. Para algunas preguntas relacionadas sobre esto, ver:

¿Cómo debo demostrar la dualidad?

Si $f$ es medible y $fg$ $L^1$ todos los $g \in L^q$ debe $f \in L^p$?

Si $\sum a_n b_n <\infty$ todos los $(b_n)\in \ell^2$ $(a_n) \in \ell^2$

Hay un constructiva prueba de esta caracterización de $\ell^2$?

Answer 4

Es el único espacio de Hilbert. Es decir, la norma proviene de un producto interior. Hilbert espacios tienen un buen montón de propiedades. Por ejemplo, ellos se auto-dual. Tienen un concepto de ortogonalidad y el ángulo.