Demostrar que existe una transformación lineal

Question

Se me dio el mapeo de tres vectores diferentes de $\mathbb{R^2}$ a $\mathbb{R^2}$ y tengo que determinar si existe una transformación lineal.

Si demuestro que los dos primeros vectores son linealmente independientes y abarcan $\mathbb{R^2}$ (por lo que forman una base), ¿sería suficiente argumentar que entonces existe una transformación lineal?

También hemos aprendido que una transformación lineal está determinada de forma única por las imágenes de una base de . Entonces, si la imagen del vector $v_3$ se puede expresar como una combinación lineal de las imágenes de los dos primeros vectores base, ¿significa eso que puede existir una transformación lineal con estos mapeos?

Answer 1

¿Si muestro que los dos primeros vectores son linealmente independientes y abarcan $\mathbb{R}^2$ (por lo que forman una base) sería suficiente entonces para argumentar que existe una transformación lineal?

No, no lo sería. También tendrías que verificar si la imagen del tercer vector es compatible. Dado que, digamos $v_1, v_2$, son una base $v_3$ es una combinación lineal de esos: $$v_3 = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2$$ Entonces tu transformación lineal, digamos $f$, tendría que satisfacer: $$f(v_3) = f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2)$$ Si esto es cierto, entonces existe una transformación lineal que mapea de acuerdo a las imágenes de $v_1,v_2$ y $v_3$.