Problema de Existencia del Límite Superior Mínimo para Números Reales y Racionales

Question

La duda se refiere a la demostración de la afirmación de que no hay un Límite Superior Mínimo para los números racionales positivos con definiciones como $p^2<2$. Antes de explicar la duda conceptual, permítanme mencionar algunas definiciones utilizadas en esta pregunta de la siguiente manera

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Definición 1

Definición 2

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Prueba de que no hay un elemento máximo fijo para el conjunto $p^2$<2

Analicemos el elemento máximo q que es menor que $p^2$. Para cualquier p siempre podemos encontrar un q que sea mayor. Así que nunca termina. Como resultado, aquí no es posible encontrar un elemento máximo q.

Razonamiento para no tener un límite superior mínimo

Esta es la afirmación que hacen (libro de Rudin) para el razonamiento de "No hay límite superior mínimo" y se expone de la siguiente manera

Afirmación de Rudin

El conjunto A está acotado superiormente. De hecho, los límites superiores de A son exactamente los miembros de B. Dado que B no contiene el menor miembro, A no tiene límite superior mínimo en Q.

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Dudas

1. Según las definiciones 1 y 2, los miembros de A también pueden ser Límites Superiores. ¿Entonces cómo puede el razonamiento de Rudin mencionado arriba decir "De hecho, los límites superiores de A son exactamente los miembros de B."?

Los miembros de B pueden ser Límites Superiores al igual que los miembros de A. ¿La afirmación "De hecho, los límites superiores de A son exactamente los miembros de B." muestra el significado correcto? Porque no solo los miembros de B son candidatos a límites superiores, los miembros de A también son elegibles siempre que podamos encontrar un máximo fijo q.

¿No podríamos decir que no tiene un límite superior mínimo porque no podemos encontrar el máximo de $p^2<2$ en A?

Podríamos tener q que sea máximo como se mencionó anteriormente para cualquier p. Dado que no podemos encontrar q fijo, ya que genera un nuevo máximo para cualquier p, decimos que no tiene sentido encontrar el número que sea mayor que todos los miembros de A. ¿Sería este punto suficiente para decir que no hay un límite superior mínimo en lugar de decir el razonamiento de Rudin mencionado anteriormente? Si pudiéramos encontrar un q que esté por encima de todos los miembros de A, sería el límite superior mínimo.

El problema radica en que no es necesario ir a B y encontrar la inexistencia de un elemento más pequeño allí. Podemos afirmar a partir de la ausencia de un máximo fijo en A al ver la propiedad de q

2. ¿Cómo se define $p^2<2$ en los números reales en lugar de racionales? ¿Cuál podría ser el límite superior mínimo? ¿Se produciría el mismo problema de fijar q aquí también? Pero el libro y la explicación dicen que hay un límite superior mínimo de R. Entonces, ¿cuál es ese valor en este caso particular?

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Nota: Estaba siguiendo una conferencia en video por internet que se basa en el libro de análisis matemático de Rudin de la 3ª edición. Esta duda se basa en las páginas 3 a 5 de ese libro. Es evidente que no existe $\sqrt{2}$ en Q, por lo que podemos decir que no hay un límite superior mínimo. Pero el libro lo explica basándose en la ausencia de un máximo en A y un mínimo en B. Estoy un poco confundido sobre el razonamiento adecuado.

Answer 1

Si estás trabajando dentro de $\Bbb Q$, es claro que $A$ tiene una cota superior (cualquier $p \in B$, digamos $p=3$, servirá). Supongamos que tiene una cota superior mínima $m$. Entonces como $\Bbb Q= A \cup B$, o bien $m$ debe estar en $A$ o en $B$.

Pero si $m \in B$, y $B$ no tiene mínimo, hay algún $p \in B$ tal que $p < m$ (¡si no, $m$ sería un mínimo!) y como todos $p \in B$ son cotas superiores para $A$, habríamos encontrado una cota superior más pequeña para $A$ que $m$, contradicción.

Y si $m \in A$, podemos encontrar $p \in A$ con $p > m$ (por el argumento de que $A$ no tiene el elemento más grande en $S$) y esto contradice el hecho de que $m$ es una cota superior para $A$ (!), ya que no "limita" $p \in A$ por arriba...

Así que donde sea que $m$ esté, no puede ser "la cota superior mínima" de $A$. O bien no es "mínima", o no es una cota superior. Así que la inevitable conclusión es que $A$ no tiene lub en $S$.

El punto fundamental de construir $\Bbb R$ a partir de $\Bbb Q$ es llenar este vacío, y "crear" un nuevo número $\sqrt{2}$ que será la cota superior mínima para $A$ en $\Bbb R$.