Cardinalidad del cociente de $M_2(\mathbb{Z})$ por el ideal de matrices con entradas pares

Question

Sea $R=\left\{\begin{pmatrix} a_1&a_2\\a_3&a_4 \end{pmatrix} \mid a_i\in \mathbb{Z} \right\}$ y sea $I$ el subconjunto de $R$ con entradas pares. Demuestra que $I$ es un ideal de $R$. ¿Cuál es la cardinalidad de $R/I$?

Así es como lo demuestro:

Sea $x=\{\left[\begin{array}{rr} 2b_1&2b_2\\2b_3&2b_4 \end{array}\right]|b_i\in Z\}\in I$ y sea $y=\{\left[\begin{array}{rr} a_1&a_2\\a_3&a_4 \end{array}\right]|a_i\in Z\}\in R$.

Nota: Para demostrar que I es un ideal de R, $xy\subseteq I$ y $yx\subseteq I$ para todo $y\in R.

Primero, intentamos con $xy\subseteq I$, es decir

$xy=\left[\begin{array}{rr} 2b_1&2b_2\\2b_3&2b_4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} a_1&a_2\\a_3&a_4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 2(b_1a_1+b_2a_3)&2(b_1a_2+b_2a_4)\\2(b_3a_1+b_4a_3)&2(b_3a_2+b_4a_4) \end{array}\right]\in I$

Ahora para $yx\subseteq I$.

$yx=\left[\begin{array}{rr} a_1&a_2\\a_3&a_4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 2b_1&2b_2\\2b_3&2b_4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 2(a_1b_1+a_2b_3)&2(a_1b_2+a_2b_4)\\2(a_3b_1+a_4b_3)&2(a_3b_2+a_4b_4) \end{array}\right]\in I$

Dado que satisface la condición, entonces I es un ideal de R.

Ahora, para encontrar la cardinalidad de R/I, me está costando resolverlo. ¿Puede alguien por favor mostrarme cómo hacerlo? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Para calcular la cardinalidad del cociente, simplemente considere $R,I$ como grupos abelianos. $R$ es isomorfo a $\Bbb{Z}^4$, mientras que $I$ es isomorfo a $2\Bbb{Z}^4.

Cada coset tiene un representante de la forma $$\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{matrix} \right]$$ donde $a_1 , a_2 , a_3 , a_4 \in \{ 0,1 \}$. Esto significa que los cosets son exactamente $2^4=16$.

Otra forma de ver esto es encontrar un isomorfismo de grupos $$\Bbb{Z}^4/2\Bbb{Z}^4 \cong (\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^4$$ que se puede encontrar utilizando el primer teorema de isomorfismo sobre la proyección $\Bbb{Z}^4 \to (\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^4$.

Answer 2

Podemos ver que $I=2R$, y al tomar el cociente se envían las matrices con todas las entradas pares a cero. El anillo cociente consiste en todos los cosets de $I$, por lo que todo lo que necesitas hacer es identificar las diferentes formas en las que una matriz puede no tener todas las entradas pares. Por ejemplo, $\left[\begin{array}{rr} 2&3\\7&7 \end{array}\right]$ estaría en el coset definido por $I+\left[\begin{array}{rr} 0&1\\1&1 \end{array}\right]$. ¿Puedes ver cómo encontrar los otros cosets?

Answer 3

Basta considerar sólo $R/I$ como un grupo abeliano. Como grupo abeliano, tenemos $R=\mathbb Z^4$ y $I=2R$, es decir $R/I=(\mathbb Z/(2))^4$ con $16$ elementos.