Esa es una buena pregunta y tocas un punto muy sutil.
Sorteamos esto cuando introducimos números complejos diciendo $\sqrt{-1} =i$
(que es una mentira piadosa que en realidad no tiene sentido; si $i^2 = -1$ entonces $(-i)^2 = -1$ así que cuál es la raíz cuadrada. Para números reales positivos definimos $\sqrt{c}$ como el número positivo, $b$ tal que $b^2 = c$ pero como ni $i$ ni $-i$ son positivos.... ?????)
Y asumimos que está claro que podemos seguir haciendo sumas y multiplicaciones de números complejos y que todo número puede ser escrito como alguna parte puramente real $a$ y alguna parte puramente imaginaria $bi$ y que $z = a+ bi$ sería claro y si nos saltamos la parte de "niños" al llegar a las partes "adultas", el estudiante habrá aceptado todo.
Tienes razón. $\mathbb C = \mathbb R^2$ con las dos operaciones, las anotaré con un guion bajo $_c$, $+_c$ y $\cdot_c$ así que
$(a,b) +_c (c,d) = (a+c, b+d)$
Y $(a,b)\cdot_c (c,d)= (ac-bd, bc + ad)$
Y esa es la definición de números complejos.
Ahora, pasaré por alto que $+_c, -_c$ están cerrados, son conmutativos, asociativos y distributivos. Incluso pasaré por alto que $(0,0)$ es una identidad aditiva y $(1,0)$ es una identidad multiplicativa, y que $(-a, -b)$ es el inverso aditivo de $(a,b)$ y que $(\frac {a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac {-b}{\sqrt{a^2 + b^2}})$ es el inverso multiplicativo de $(a,b)$ si $(a,b)\ne (0,0)$, así que esto forma un campo.
Pero notamos: Que $(a,0) +_c (b,0) = (a+b,0)$ y $(a,0) \cdot_c (b,0) = (ab,0)$ así que podemos considerar que si $(x,0)\equiv x \in \mathbb R$ y que $(a,0)+_c (b,0) \equiv a+b$ y $(a,0)\cdot_c (b,0) \equiv a\cdot c$ podemos considerar que $\mathbb R \subset \mathbb C$ como un subcampo.
También podemos notar que $(0,1)^2 =(-1,0)$ si usamos la notación $i:= (0,1)$ que $i^2 = -1$
Y también $(b,0)\cdot_c (0,1) = (0, b)$ podemos usar la notación de que para $b\in \mathbb R$ podemos escribir $(0,b)$ como $bi$
Y como podemos expresar cualquier $(a,b) \in \mathbb C$ como $(a,0) +_c (0,b) = (a,0) +_c [(b,0)(0,1)]$:
Esto significa si definimos la notación $a + bi:= (a,b)\in \mathbb R^2$ (con la comprensión de que $a,b$ son ambos reales)
Entonces todas las reglas esperadas de aritmética se aplicarán y funcionarán como esperamos.
$(a + bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$ porque $(a,b)+_c (c,d)= (a+c, b+d)$.
Y $(a + bi)(c+di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$ funcionará porque
$(a,b)\cdot_c(c,d)=[(a,0) +_c (0,b)]\cdot_c[(c,0)+_c(0,d)]=$
$[(a,0) +_c (b,0)\cdot(0,1)]\cdot_c[(c,0)+_c (d,0)\cdot_c(0,1)]=$
$(a,0)\cdot_c(c,0) + (b,0)\cdot_c(d,0)\cdot_c(0,1) + (a,0)\cdot_c(c,0)\cdot_c(0,1) + (b,0)\cdot_c(d,0)\cdot_c(0,1)\cdot_c(0,1)=$
$(ac,0) +_c (bd+ac,0)\cdot_c (0,1) + (-bd,0)=$
$(ac-bd,0) +_c (bd+ac),0)\cdot_c(0,1)$.
(lo cual, si lo lleváramos más allá, resultaría, por supuesto en $(ac-bd,bd+ac)=(a,b)\cdot_c(c,d)$ por definición)
Así que eso es todo. Es solo notación.
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Alternativamente....
Si estás familiarizado con extensiones de campo, esto funciona como $\mathbb C = \mathbb R[i]$ donde $i$ tiene la propiedad de que $i^2 = -1$.
Una extensión de campo $F[w]$ funciona tomando un campo $F$ lanzando un elemento $w$ no en el campo. Permitiendo que $qw$ y $q+w$ para $q\in F$ por decreto. (No significan nada; son conceptos abstractos). Si no se especifica lo contrario $w^{-1}$ y $w^k$ existen por decreto, pero podemos hacer una estipulación, como $w^3 = r$ (para que $w^{-1} = r^{-1}w^2$).
Un ejemplo simple de una extensión de campo puede ser $\mathbb Q[\sqrt[3]7]$ que sería $\{q + r\sqrt[3]7 + s\sqrt[3]7^2|q,r,s\in \mathbb Q\}$. Como $\mathbb Q[\sqrt[3]7]\subset \mathbb R$ esto no parece un concepto abstracto o extraño.
Pero $\mathbb C=\mathbb R[i; i^2=-1] = \{a + bi|a,b\in \mathbb R\}$ donde $i^2 =-1$ puede parecer un poco como si estuviéramos inventando cosas, pero... si es consistente se nos permite inventar cosas.
¿No es eso lo que es matemáticas? Si algo es consistente los.... matemáticos simplemente simplifican las cosas. Es lo que hacemos.