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¿El símbolo "$+$" denota una operación en la notación de un número complejo: "$a+ib$"? En caso afirmativo, ¿qué operación denota "$+$"?

Esta es una pregunta para principiantes.

Un número complejo es un elemento de R², es decir, un par ordenado (a, b), siendo los números a y b elementos de R.

Un número complejo puede escribirse: a + ib.

Sé que se puede definir un tipo especial de suma para los números complejos.

Pero me parece que en "a + ib" el signo " +" no denota suma compleja. Tampoco puede denotar suma real, porque (aunque puedo estar equivocado), a menos que b=0, ib no es un número real.

Por lo tanto, mi pregunta es: ¿qué denota el signo " +" en "a+ib"?

30voto

ManuelSchneid3r Puntos 116

De hecho, hay un abuso muy molesto de la notación aquí. La versión corta es que el "$+$" en "$a+bi$" - en el contexto de la definición de los números complejos - se está utilizando como un símbolo puramente formal; dicho esto, después de haber dado sentido a los números complejos, se puede confundir con la suma compleja.

Una forma realmente formal de construir $\mathbb{C}$ a partir de $\mathbb{R}$ es la siguiente:

  • Un número complejo es un par ordenado $(a,b)$ con $a,b\in\mathbb{R}$.

  • Definimos la suma compleja y la multiplicación compleja por $$(a,b)+_\mathbb{C}(c,d)=(a+c,b+d)$$ y $$(a,b)\times_\mathbb{C}(c,d)=(a\times c-b\times d, a\times d+b\times c)$$ respectivamente. Nota que estamos usando los símbolos "$+$," "$-$," y "$\times$" aquí en el contexto de los números reales - estamos asumiendo que esos ya han sido definidos (estamos construyendo $\mathbb{C}$ a partir de $\mathbb{R}$).

  • Luego introducimos algunas abreviaturas: para números reale $a$ y $b$, la expresión "$a+bi$" se utiliza para denotar $(a,b)$, "$a$" es una abreviatura de $(a,0)$, y "$bi$" es una abreviatura de $(0,b)$. Luego observamos que "$a+bi=a+bi$," en el sentido de que $$a+bi=(a,b)=(a,0)+_\mathbb{C}(0,b)=a+_\mathbb{C}bi$$ (retorciéndonos un poco al hacerlo).

Básicamente, lo que sucede en la construcción habitual de los números complejos es que se está sobrecargando horriblemente el símbolo "$+$"; de hecho, esto puede ser desenredado, pero tienes toda la razón en verlo con escepticismo (y es una práctica poco recomendable en general construir un nuevo objeto de manera tan despreocupada).


Esta antigua respuesta mía explica cómo se pueden demostrar rigurosamente propiedades de $\mathbb{C}$ a partir de una construcción tan rigurosa, y puede ayudar a aclarar las cosas. Además, vale la pena señalar que este tipo de lío notacional no es único de los números complejos - el mismo problema puede surgir con la construcción de extensiones de campos incluso muy simples (ver esta antigua respuesta mía).

9voto

Anthony Cramp Puntos 126

Algunos dirían: identificamos un número real $a$ con el número complejo $(a,0)$. Luego, usando esta identificación, $$ (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(0,1)(b,0)= a+ib . $$ Si lo decimos de esa manera, entonces el "$+$" es una suma compleja. Y (con esta identificación) cada número real es también un número complejo.

Tal vez un profesor (para empezar) use una notación diferente para el número real $a$ y el número complejo $a$. Pero después de un tiempo, esa notación diferente se descartará, y la "identificación" se entenderá.

Tenemos cosas similares a un nivel más elemental. Un número natural es "identificado" con un entero. Un entero es "identificado" con un número racional. Un número racional es "identificado" con un número real. ¿Deberíamos, de hecho, mantener diferentes notaciones para todos estos?

6voto

Nahom Tijnam Puntos 1789

Tienes razón en que esto plantea un problema interesante. Al igual que con otras cosas, no hay "una manera correcta" de lidiar con esto, y admite varias interpretaciones con igual validez pero diferente contenido semántico.

Algunas han sido sugeridas aquí; me gustaría sugerir otra - y esa es la teoría de tipos.

Verás, como también tengo algo de experiencia en programación informática, recuerdo haber escuchado la afirmación de que "la programación informática intenta, en lo ideal, parecerse más a las matemáticas". Pensé que tenía algún mérito, y al escucharlo, también empecé a preguntarme si las matemáticas, de igual manera, no podrían beneficiarse de ser más parecidas a la programación informática.

Y uno de los conceptos más útiles en programación informática es el de "tipo de datos": todo en un ordenador se construye en última instancia a partir de cadenas de bits binarios (al menos en un nivel de abstracción), pero nos gustaría decir que, al escribir programas, algunas cadenas de bits no son intercambiables con otras cadenas, porque están "destinadas" a representar diferentes conceptos. Por ejemplo, una cadena de bits "01000001" podría representar el número decimal 65 - un número entero - o podría representar la letra 'A' (en al menos un sistema de codificación muy común). Obviamente, no queremos mezclar texto y números indiscriminadamente, por lo que asignamos estos dos conceptos diferentes "tipos de datos", al menos dentro del lenguaje de programación, incluso si al ordenador en sí no le importa en el nivel de base o "implementación".

De la misma manera, nos enfrentamos a un problema muy similar en las matemáticas, en cómo suelen construirse. En una forma común "de bajo nivel" de hacer matemáticas, la mayoría de los objetos se representan "en la base" por conjuntos - por ejemplo, el número "2", como número natural, se "implementa" con

$$2 := \{\ \{\}, \{ \{\} \}\ \}$$

básicamente solo algunos conjuntos anidados dentro de otros conjuntos. Pero esto lleva a problemas "extraños" como la aparente validez de decir

$$\{\} \in 2$$

lo cual es algo que, y de hecho, deberías, al principio, gritar que es "¡nonsense!", incluso aunque este formalismo reconocería lo anterior como válido. Como puedes ver, esto no es diferente de la situación informática donde la cadena de bits podría representar bien un fragmento de texto (la letra 'A') o un número (65) - solo que aquí, estamos tratando con conjuntos, no con cadenas de bits.

Y ese es el trabajo de las teorías de tipos: básicamente, son formas de tratar de introducir una noción de "tipos de datos", como esta, en las matemáticas - aunque, desafortunadamente, parece que no se usan a menudo. De esa manera, podemos declarar que algo como

$$\{\} \in 2$$

es ilegal (es decir, el resultado es indefinido), incluso si hemos "implementado" $2$ como un conjunto, porque podemos etiquetar que $2$ y $\{\}$ pertenecen a diferentes tipos: podríamos llamarlos, digamos, $\mathbf{nat}$ y $\mathbf{Set}$, y escribiríamos

$$2 : \mathbf{nat}$$

para significar "2 tiene tipo 'nat', es decir, número natural", y

$$\{\} : \mathbf{Set}$$

para significar "$\{\}$ tiene tipo 'Set', es decir, un conjunto". Y luego, al intentar

$$\{\} \in 2$$

falla porque $\in$ no puede aceptar un objeto no $\mathbf{Set}$ en su argumento de la derecha, incluso si nuestra teoría de tipos nos permitiría "implementar" el tipo $\mathbf{nat}$ como un subconjunto selecto de conjuntos extraídos de $\mathbf{Set}$: las teorías de tipos incluyen la información adicional de tipo en la evaluación de expresiones y dirían que la expresión anterior debe fallar.

En el caso presente, lo que tenemos es que la operación $+$, aquí, toma dos números complejos - tipo $\mathbf{complex}$. Pero tenemos $a : \mathbf{real}$ y $b : \mathbf{real}$. Y en la programación informática, esto también surge: podemos tener, por ejemplo, una función que está definida para aceptar solo argumentos de, digamos, tipo "float" (aproximación de números reales en punto flotante), pero muchos lenguajes de programación te permitirán llamar o invocar esa función con enteros como argumentos, debido a lo que se llama una coerción de tipos: los enteros se promocionan implícitamente a floats, y luego se pasan como es habitual. Estas reglas de coerción de tipos se utilizan cuando las cosas de un tipo tienen un equivalente "razonable" en otro, pero no se pueden intercambiar de manera ingenua como indican los tipos diferentes.

Y así haríamos algo similar en matemáticas tipificadas: podría haber una regla de coerción de tipos, o "conversión de tipo implícita", entre reales y complejos:

$$(\mathbf{complex})\ a := (a, 0)_\mathbb{C}$$

donde hemos subíndicado para denotar que el par ordenado representa un número complejo, y por lo tanto tiene tipo $\mathbf{complex}$. Entonces, cuando haces

$$a + ib$$

lo que sucede es que tanto "a" como "b" primero se convierten implícitamente a los números complejos $(a, 0)_\mathbb{C}$ y $(b, 0)_\mathbb{C}$ por la regla dada, luego según las reglas de precedencia de operadores (PMDAS, etc.), se realiza la multiplicación compleja $ib = (0, 1)_\mathbb{C} \cdot (b, 0)_\mathbb{C}$, y finalmente se realiza la adición compleja $a + ib = (a, 0)_\mathbb{C} + (0, b)_\mathbb{C}$, terminando con la expresión evaluándose en $(a, b)_\mathbb{C}$.

Por lo tanto, desde esta perspectiva, $+$ es de hecho una adición compleja, pero hay una 'traducción' adicional que implica a los reales $a$ y $b$.

Si la regla de coerción de tipos no existiera, entonces

$$a + ib$$

sería una expresión inválida (por motivo de tipos incompatibles), y tendríamos que usar el completo

$$(a, 0)_\mathbb{C} + (0, 1)_\mathbb{C} \cdot (b, 0)_\mathbb{C}$$

para hacer lo equivalente. O, simplemente escribir $(a, b)_\mathbb{C}$.

Desafortunadamente, las teorías de tipos parecen ser un método minoritario que, aunque son de interés como objetos de estudio en sí mismas, no se utilizan típicamente de manera fundamental, a pesar de que hay un buen argumento, creo, que pueden ser más intuitivas y capturar bastante fácilmente algunos aspectos importantes del uso matemático que de otra manera tendrían que ser descartados como mera "imprecisión". De hecho, dada la proliferación del ordenador, armonizar las matemáticas con la programación informática parece algo natural en la era moderna.

3voto

fleablood Puntos 5913

Esa es una buena pregunta y tocas un punto muy sutil.

Sorteamos esto cuando introducimos números complejos diciendo $\sqrt{-1} =i$

(que es una mentira piadosa que en realidad no tiene sentido; si $i^2 = -1$ entonces $(-i)^2 = -1$ así que cuál es la raíz cuadrada. Para números reales positivos definimos $\sqrt{c}$ como el número positivo, $b$ tal que $b^2 = c$ pero como ni $i$ ni $-i$ son positivos.... ?????)

Y asumimos que está claro que podemos seguir haciendo sumas y multiplicaciones de números complejos y que todo número puede ser escrito como alguna parte puramente real $a$ y alguna parte puramente imaginaria $bi$ y que $z = a+ bi$ sería claro y si nos saltamos la parte de "niños" al llegar a las partes "adultas", el estudiante habrá aceptado todo.

Tienes razón. $\mathbb C = \mathbb R^2$ con las dos operaciones, las anotaré con un guion bajo $_c$, $+_c$ y $\cdot_c$ así que

$(a,b) +_c (c,d) = (a+c, b+d)$

Y $(a,b)\cdot_c (c,d)= (ac-bd, bc + ad)$

Y esa es la definición de números complejos.

Ahora, pasaré por alto que $+_c, -_c$ están cerrados, son conmutativos, asociativos y distributivos. Incluso pasaré por alto que $(0,0)$ es una identidad aditiva y $(1,0)$ es una identidad multiplicativa, y que $(-a, -b)$ es el inverso aditivo de $(a,b)$ y que $(\frac {a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac {-b}{\sqrt{a^2 + b^2}})$ es el inverso multiplicativo de $(a,b)$ si $(a,b)\ne (0,0)$, así que esto forma un campo.

Pero notamos: Que $(a,0) +_c (b,0) = (a+b,0)$ y $(a,0) \cdot_c (b,0) = (ab,0)$ así que podemos considerar que si $(x,0)\equiv x \in \mathbb R$ y que $(a,0)+_c (b,0) \equiv a+b$ y $(a,0)\cdot_c (b,0) \equiv a\cdot c$ podemos considerar que $\mathbb R \subset \mathbb C$ como un subcampo.

También podemos notar que $(0,1)^2 =(-1,0)$ si usamos la notación $i:= (0,1)$ que $i^2 = -1$

Y también $(b,0)\cdot_c (0,1) = (0, b)$ podemos usar la notación de que para $b\in \mathbb R$ podemos escribir $(0,b)$ como $bi$

Y como podemos expresar cualquier $(a,b) \in \mathbb C$ como $(a,0) +_c (0,b) = (a,0) +_c [(b,0)(0,1)]$:

Esto significa si definimos la notación $a + bi:= (a,b)\in \mathbb R^2$ (con la comprensión de que $a,b$ son ambos reales)

Entonces todas las reglas esperadas de aritmética se aplicarán y funcionarán como esperamos.

$(a + bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$ porque $(a,b)+_c (c,d)= (a+c, b+d)$.

Y $(a + bi)(c+di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$ funcionará porque

$(a,b)\cdot_c(c,d)=[(a,0) +_c (0,b)]\cdot_c[(c,0)+_c(0,d)]=$

$[(a,0) +_c (b,0)\cdot(0,1)]\cdot_c[(c,0)+_c (d,0)\cdot_c(0,1)]=$

$(a,0)\cdot_c(c,0) + (b,0)\cdot_c(d,0)\cdot_c(0,1) + (a,0)\cdot_c(c,0)\cdot_c(0,1) + (b,0)\cdot_c(d,0)\cdot_c(0,1)\cdot_c(0,1)=$

$(ac,0) +_c (bd+ac,0)\cdot_c (0,1) + (-bd,0)=$

$(ac-bd,0) +_c (bd+ac),0)\cdot_c(0,1)$.

(lo cual, si lo lleváramos más allá, resultaría, por supuesto en $(ac-bd,bd+ac)=(a,b)\cdot_c(c,d)$ por definición)

Así que eso es todo. Es solo notación.

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Alternativamente....

Si estás familiarizado con extensiones de campo, esto funciona como $\mathbb C = \mathbb R[i]$ donde $i$ tiene la propiedad de que $i^2 = -1$.

Una extensión de campo $F[w]$ funciona tomando un campo $F$ lanzando un elemento $w$ no en el campo. Permitiendo que $qw$ y $q+w$ para $q\in F$ por decreto. (No significan nada; son conceptos abstractos). Si no se especifica lo contrario $w^{-1}$ y $w^k$ existen por decreto, pero podemos hacer una estipulación, como $w^3 = r$ (para que $w^{-1} = r^{-1}w^2$).

Un ejemplo simple de una extensión de campo puede ser $\mathbb Q[\sqrt[3]7]$ que sería $\{q + r\sqrt[3]7 + s\sqrt[3]7^2|q,r,s\in \mathbb Q\}$. Como $\mathbb Q[\sqrt[3]7]\subset \mathbb R$ esto no parece un concepto abstracto o extraño.

Pero $\mathbb C=\mathbb R[i; i^2=-1] = \{a + bi|a,b\in \mathbb R\}$ donde $i^2 =-1$ puede parecer un poco como si estuviéramos inventando cosas, pero... si es consistente se nos permite inventar cosas.

¿No es eso lo que es matemáticas? Si algo es consistente los.... matemáticos simplemente simplifican las cosas. Es lo que hacemos.

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