¿Qué es $(V^*)^{\otimes l} \stackrel{f}{\rightarrow} S^l( (V^*)^{\oplus l} )\cong S^l( (V^{\oplus l})^* ) \stackrel{g}{\rightarrow} S^l(V^*)?

Question

Trabajemos sobre un campo algebraicamente cerrado y sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita. ¿Existe entonces una cadena natural de aplicaciones $$ (V^*)^{\otimes l} \stackrel{f}{\rightarrow} S^l( (V^*)^{\oplus l} )\cong S^l( (V^{\oplus l})^* ) \stackrel{g}{\rightarrow} S^l(V^*), $$ donde $S^l(W)$ es la potencia simétrica de un espacio vectorial de dimensión finita $W$ y $W^*$ significa el conjunto de funcionales lineales en $W$?

Observa que se supone que $g$ está inducido por la inclusión diagonal natural $V\hookrightarrow V^{\oplus l}$ y observa que $S^l( (V^*)^{\oplus l})=\oplus_{p_1+\ldots +p_l=l} \otimes_{i=1}^l S^{p_i}(V^*)$.

Cuando $l=2$, lo anterior simplifica a: $$ (V^*)^{\otimes 2}\stackrel{f}{\rightarrow} S^0(V^*)\otimes S^2(V^*)\oplus S^1(V^*)\otimes S^1(V^*)\oplus S^2(V^*)\otimes S^0(V^*)\stackrel{g}{\rightarrow}S^2(V^*). $$ ¿Luego $f$ envía $f_1\otimes f_2\mapsto f_1 f_2 \oplus (\sum_{\sigma\in S_2} f_{\sigma(1)}\otimes f_{\sigma(2)}) \oplus f_1 f_2$, y entonces $g$ envía $f_1 f_2 \oplus f_1\otimes f_2 \oplus f_1 f_2\mapsto f_1f_2$? Si la secuencia de aplicaciones que escribí es correcta, ¿cuál es el punto de insertar $(V^*)^{\otimes l}$ mediante $f$ en la potencia simétrica de un espacio vectorial más grande?

Answer 1

Discutamos el caso $l=2$. La cuestión es que

$$V=S^1(V):=T(V)/(I_V),$$

donde $I_V$ es el ideal de dos lados generado por $v_1\otimes v_2-v_2\otimes v_1$, para todo $v_1, v_2\in V$. De manera análoga, tenemos la incrustación (o definición)

$$V^{*}\otimes V^{*}=S^1(V^{*}\otimes V^{*}).$$

Si queremos incrustar $V^{*}\otimes V^{*}$ en el componente de peso $2$ $S^2(\cdot)$ de un álgebra simétrica, necesitamos "duplicar la dimensión". Hagámoslo. En primer lugar, en lo que sigue utilizamos las inclusiones $W\hookrightarrow W\oplus W$ en el primer y segundo factor dadas por $w\mapsto w\oplus 1$, respectivamente, $w\mapsto 1\oplus w$. El morfismo

$$V^{*}\otimes V^{*}\stackrel{f}{\rightarrow} S^2(V^{*}\oplus V^{*})$$

está dado por la composición

$$V^{*}\otimes V^{*}\rightarrow (V^{*}\oplus V^{*})\otimes (V^{*}\oplus V^{*})\twoheadrightarrow S^2(V^{*}\oplus V^{*})=((V^{*}\oplus V^{*})\otimes (V^{*}\oplus V^{*}))/I_{V^{*}\oplus V^{*}} $$

con

$$\epsilon_1\otimes \epsilon_2 \mapsto (\epsilon_1\oplus 1)\otimes (1\oplus \epsilon_2) + I_{V^{*}\oplus V^{*}},$$

para cualquier base $\{\epsilon_i\}$ de $V^{*}$. El isomorfismo

$$S^2(V^{*}\oplus V^{*})\stackrel{\mathcal I}{\rightarrow} S^2((V\oplus V)^{*})= ((V\oplus V)^{*}\otimes (V\oplus V)^{*})/I_{(V\oplus V)^{*}}$$

está dado por (en la imagen de $f$)

$$(\epsilon_1\oplus 1)\otimes (1\oplus \epsilon_2) + I_{V^{*}\oplus V^{*}}\mapsto (e_1\oplus 1)\otimes (1\oplus e_2) + I_{(V\oplus V)^{*}}, $$

denotando por $\{e_i\}$ la base dual en $V$, es decir, $\epsilon_i(e_j)=\delta_{ij}$.

Llegamos al morfismo $g$

$$S^2((V\oplus V)^{*})\stackrel{g}{\rightarrow} S^2(V^{*})= (V^{*}\otimes V^{*})/I_{V^{*}}$$

dado por (en la imagen de $\mathcal I\circ f$)

$$(e_1\oplus 1)\otimes (1\oplus e_2) + I_{(V\oplus V)^{*}}\mapsto (\epsilon_1\otimes \epsilon_2) + I_{V^{*}},$$

y hemos terminado.