Estimación de los puntos finales de la distribución uniforme utilizando datos con errores

Question

Supongamos que tengo una variable aleatoria $X$ ~ $Unif(0,\theta)$ donde quiero estimar $\theta$. Tomo una muestra $X_1,...,X_n$. Una forma es obtener una estimación puntual utilizando, por ejemplo, la estimación de máxima verosimilitud a través de la estadística suficiente $X_{(n)}.

Sin embargo, supongamos que quiero un intervalo de confianza del 95% de alguna manera sobre el valor de $\theta$, ¿cómo debería construirlo?

La razón por la que estoy interesado en el intervalo de confianza es debido al siguiente problema, que en realidad es mi pregunta principal (el preámbulo anterior sobre el intervalo de confianza es solo una sugerencia sobre un enfoque posible). Entonces, en realidad mi muestra vino con algo de ruido, en el sentido de que observo $X_1+E_1,...,X_n+E_n$ donde $E_i$ ~ $N(0,\sigma_i^2)$ de forma independiente entre sí y de los $X$'s. ¿Cómo debería hacer alguna forma de estimación estadística sobre $\theta? Preferiría alguna forma de estimación de confianza.

Answer 1

Puedes simplemente utilizar la máxima verosimilitud! Primero, das la desviación estándar de tu variable aleatoria normal $E_i$ como $\sigma_i$. Si eso es realmente lo que quieres, estás más o menos fuera de suerte, ya que entonces tienes más parámetros que observaciones. Así que presumiré que fue un error, y asumiré desviaciones estándar idénticas $\sigma$.

Luego, cada una de tus observaciones tiene la distribución de la suma de variables uniformes y normales independientes. Así que primero debemos encontrar esa distribución, que es un ejercicio de convolución. Sea $f(x) = \frac{1}{\theta}I_{0 \le x \le \theta}(x)$ la densidad uniforme y $g(e)$ la densidad normal. Calculando la convolución obtenemos $$ \begin{align} f \ast g (x) &= \int f(x-e) \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac12(\frac{e}{\sigma})^2} \, de = \\ &= \frac{1}{\theta} \int_{x-\theta}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac12(\frac{e}{\sigma})^2} \, de \\ &= \frac{1}{\theta} \int_{\frac{x-\theta}{\sigma}}^{\frac{x}{\sigma}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 u^2} \, du = \\ &= \frac{1}{\theta} \left( \Phi(x/\sigma) - \Phi((x-\theta)/\sigma) \right) \end{align} $$ donde hemos usado una simple sustitución, y donde $\Phi$ es la función de distribución acumulada normal estándar. Ahora, esto se puede utilizar como de costumbre para la estimación de máxima verosimilitud. Escribamos la función de densidad que encontramos arriba como $h(u; \theta, \sigma)$. Entonces la función de verosimilitud es $$ L(u;\theta, \sigma) = \prod_{i=1}^n h(u_i;\theta,\sigma) $$ así que el logaritmo de la verosimilitud se convierte en $$ l(u;\theta,\sigma) = -n\log\theta + \sum_{i=1}^n \log \left ( \Phi(u_i/\sigma) -\Phi((u_i-\theta)/\sigma) \right ) $$ ¡Maximiza esto sobre los parámetros desconocidos!

EDICIÓN después de los comentarios: ¡Entonces continuaré asumiendo que $\sigma$ es conocido! Puedes extenderlo a tu caso con $\sigma_i$ distintos conocidos. Podemos hacer un intervalo de confianza sobre $\theta$ mediante perfilado de verosimilitud. Simplemente utilizamos el resultado (asintótico) de que $$ 2(l(\hat{\theta})-l(\theta)) \sim \chi^2_d $$ donde $\sim$ se lee "distribuido como" y $d$ es la dimensión de $\theta`, en nuestro caso 1. $\hat{\theta}$ es el estimador de máxima verosimilitud.

Puedes invertir esto (numéricamente) para obtener un intervalo de confianza.