Soy un estudiante que ha tomado el básico de cálculo de los cursos, pero estoy trabajando a través de Cálculo (cuarta edición), por Spivak en mi tiempo libre, a fin de revisar el material y para conseguir un mayor conocimiento riguroso de los conceptos. Actualmente estoy en el Capítulo 8, donde se proporciona una prueba de la base del Valor medio Teorema, el Teorema de 7-1 (páginas 135-136 de la cuarta edición). Parece que la mayoría de simple, pero creo que hay algún matiz de que no me alcance.
Estoy incluyendo en este post la declaración Teorema de 6-3 desde que hace referencia a ella en la prueba del Teorema de 7-1, así como parte de Teorema de 7-1 en sí.
Teorema 6-3
Supongamos $f$ es continua en a $a$, e $f(a) > 0$. A continuación, $f(x) > 0$ todos los $x$ en algún intervalo que contiene a $a$; más precisamente, hay un número de $\delta > 0$ tal que $f(x) > 0$ todos los $x$ satisfacción $|x-a| < \delta$. Del mismo modo, si $f(a) < 0$, entonces no es un número $\delta > 0$ tal que $f(x) < 0$ todos los $x$ satisfacción $|x-a| < \delta$.
Problema 6-16 también se hace referencia. Sin embargo,es la misma cosa como el Teorema de 6-3 para los límites laterales. La siguiente prueba es el Teorema de 7-1 hasta el párrafo que no entiendo.
Teorema de 7-1:
Si $f$ es continua en a$[a,b]$$f(a) < 0 < f(b)$, entonces no es un número $z$ $[a,b]$ tal que $f(x) = 0$.
Prueba: Definir el conjunto $A$ como sigue: $$A = \{x : a \le x\le b, \mbox{ and } f \mbox{ is negative on the interval } [a,x] \}.$$ Claramente $A \ne \emptyset$, ya que el $a$$A$; de hecho, hay algunos $\delta > 0$ tal que $A$ contiene todos los puntos de $x$ satisfacción $a \le x < a + \delta$; esto se deduce de Problema 6-16, ya $f$ es continua en a$[a,b]$$f(a)<0$. Del mismo modo, $b$ es un límite superior para $A$ y, de hecho, hay un $\delta > 0$ de manera tal que todos los puntos de $x$ satisfacción $b-\delta < x \le b$ son límites superiores para $A$; esto se desprende también de Problema 6-16, ya $f(b) > 0$.
A partir de estas observaciones se deduce que $A$ tiene al menos un límite superior $\alpha$ y $a < \alpha < b$. Ahora queremos mostrar que $f(\alpha) = 0$, eliminando las posibilidades de $f(\alpha) < 0$$f(\alpha) > 0$.
Supongamos primero que $f(\alpha) < 0$. Por el Teorema de 6-3, hay un $\delta > 0$ tal que $f(x) < 0$$\alpha - \delta < x < \alpha + \delta$. Ahora existe cierto número de $x_0$ $A$ que satisface $\alpha - \delta < x_0 < \alpha$ (porque de lo contrario $\alpha$ no sería la menos límite superior de $A$). Esto significa que $f$ es negativa en todo el intervalo de $[a,x_0]$. Pero si $x_1$ es un número entre el$\alpha$$\alpha+\delta$, $f$ también es negativa en todo el intervalo de $[x_0,x_1]$. Por lo tanto, $f$ es negativa en el intervalo de $[a,x_1]$, lo $x_1$$A$. Pero esto contradice el hecho de que $\alpha$ es un límite superior para $A$; nuestra hipótesis original de que $f(\alpha) < 0$ debe ser falsa.
El punto que no entiendo es en el último párrafo del extracto. ¿Por qué Spivak dividir el intervalo de $[a,b]$ en los subintervalos $\lbrack a,x_0 \rbrack$$[x_0,x_1]$? ¿No es cierto que, debido a $\alpha$ es un mínimo límite superior de $A$ $f$ es continua en a $[a,b]$, debe ser cierto que si $a \le x < \alpha$$f(x)<0$? Entiendo la necesidad de recoger la $x_1$, pero no el $x_0$. Especialmente sorprendente es la afirmación "hay cierto número de $x_0$ $A$ que satisface $\alpha - \delta < x_0 < \alpha$ (porque de lo contrario $\alpha$ no sería la menos límite superior de $A$." ¿No sería cierto que si hubo algunos $x_0$ tal que $a \le x_0 < \alpha$ $f(x_0) \ge 0$ que $x_0$ sería una cota superior para $A$, contradiciendo ese $\alpha$ es la menor cota superior de a $A$?
Gracias por la ayuda.
