Diferencia entre anillos utilizados en el cálculo de homologías

Question

Necesito saber dónde los anillos cambian el cálculo de la homología singular. Después de montar la matriz del operador, tengo que obtener la dimensión de la imagen y el núcleo. Si tengo, por ejemplo, la matriz: \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix> ¿Cuál será la diferencia calcular $H_{n}(X, \mathbb{R})$ y $H_{n}(X, \mathbb{Z})$ donde X es un espacio topológico? ¿Y en qué casos será diferente? ¡Gracias!

Answer 1

En lo que respecta a los "cálculos directos" a través de matrices, etc., ten cuidado con la torsión, por ejemplo. Como ilustración, considera los mapas $$\mathbb{Z} \stackrel{2 i_1}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \stackrel{ p_2}\to \mathbb{Z},$$ donde $2i_1: x \mapsto (2x,0)$ y $p_2:(x,y) \mapsto y$. Entonces tenemos que la homología en el medio es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Ahora haz el cálculo con el mismo complejo pero con $\mathbb{R}$ en su lugar.

Ahora, una buena manera de responder tu pregunta en general es a través del teorema del coeficiente universal. Establece la existencia de una secuencia exacta dividida

$$0 \to H_i(X;\mathbb{Z}) \otimes G\to H_i(X; G) \to \mathrm{Tor}( H_{i-1}(X;G), G) \to 0.$$

Es decir, tenemos la siguiente isomorfía:

$$H_i(X; G) \cong (H_i(X;\mathbb{Z}) \otimes G) \oplus \mathrm{Tor}(H_{i-1}(X;G),G).$$ Esto significa que, si calculas la homología (o al menos la homología singular $i$-ésima y $(i-1)$-ésima) con coeficientes en $\mathbb{Z}$, sabes la homología con cualquier coeficiente (siempre que, por supuesto, sepas qué es $\mathrm{Tor}$ y la tensorización).

Ahora, si $G=\mathbb{R}$, tenemos un grupo abeliano plano, por lo tanto $\mathrm{Tor}$ se anula. Si la homología es libre, entonces es simplemente un caso de cambiar $\mathbb{Z}$ por $\mathbb{R}$, ya que $$H_i(X;G) \simeq H_i(X;\mathbb{Z}) \otimes \mathbb{R} \cong \mathbb{Z}^n\otimes \mathbb{R}\cong \mathbb{R}^n.$$ Si la homología es finitamente generada, es casi tan fácil, ya que tendremos $$H_i(X;G) \simeq H_i(X;\mathbb{Z}) \otimes \mathbb{R} \cong (\mathbb{Z}^n\oplus \text{la parte con torsión})\otimes \mathbb{R}\cong \mathbb{R}^n,$$ y el algoritmo es esencialmente "borrar la torsión y cambiar los $\mathbb{Z}$'s por $\mathbb{R}$'s".

Por supuesto, el recíproco no es tan simple: no puedes, a partir de la homología con coeficientes en $\mathbb{R}$ ir a la homología con coeficientes en $\mathbb{Z$solo a través de los grupos de homología mismos, ya que por ejemplo$H_*(\mathbb{R}P^3;\mathbb{R}) \cong H_*(S^3,\mathbb{R})$, lo cual se puede ver a partir de los cálculos anteriores, pero$H_*(\mathbb{R}P^3; \mathbb{Z})$no es isomorfo a$H_*(S^3,\mathbb{Z})$ como es bien conocido.