Necesito saber dónde los anillos cambian el cálculo de la homología singular. Después de montar la matriz del operador, tengo que obtener la dimensión de la imagen y el núcleo. Si tengo, por ejemplo, la matriz: \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix> ¿Cuál será la diferencia calcular $H_{n}(X, \mathbb{R})$ y $H_{n}(X, \mathbb{Z})$ donde X es un espacio topológico? ¿Y en qué casos será diferente? ¡Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
failexam
Puntos
90
En lo que respecta a los "cálculos directos" a través de matrices, etc., ten cuidado con la torsión, por ejemplo. Como ilustración, considera los mapas $$\mathbb{Z} \stackrel{2 i_1}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \stackrel{ p_2}\to \mathbb{Z},$$ donde $2i_1: x \mapsto (2x,0)$ y $p_2:(x,y) \mapsto y$. Entonces tenemos que la homología en el medio es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Ahora haz el cálculo con el mismo complejo pero con $\mathbb{R}$ en su lugar.
Ahora, una buena manera de responder tu pregunta en general es a través del teorema del coeficiente universal. Establece la existencia de una secuencia exacta dividida
$$0 \to H_i(X;\mathbb{Z}) \otimes G\to H_i(X; G) \to \mathrm{Tor}( H_{i-1}(X;G), G) \to 0. $$
Es decir, tenemos la siguiente isomorfía:
$$H_i(X; G) \cong (H_i(X;\mathbb{Z}) \otimes G) \oplus \mathrm{Tor}(H_{i-1}(X;G),G). $$ Esto significa que, si calculas la homología (o al menos la homología singular $i$-ésima y $(i-1)$-ésima) con coeficientes en $\mathbb{Z}$, sabes la homología con cualquier coeficiente (siempre que, por supuesto, sepas qué es $\mathrm{Tor}$ y la tensorización).
Ahora, si $G=\mathbb{R}$, tenemos un grupo abeliano plano, por lo tanto $\mathrm{Tor}$ se anula. Si la homología es libre, entonces es simplemente un caso de cambiar $\mathbb{Z}$ por $\mathbb{R}$, ya que $$H_i(X;G) \simeq H_i(X;\mathbb{Z}) \otimes \mathbb{R} \cong \mathbb{Z}^n\otimes \mathbb{R}\cong \mathbb{R}^n.$$ Si la homología es finitamente generada, es casi tan fácil, ya que tendremos $$H_i(X;G) \simeq H_i(X;\mathbb{Z}) \otimes \mathbb{R} \cong (\mathbb{Z}^n\oplus \text{la parte con torsión})\otimes \mathbb{R}\cong \mathbb{R}^n,$$ y el algoritmo es esencialmente "borrar la torsión y cambiar los $\mathbb{Z}$'s por $\mathbb{R}$'s".
Por supuesto, el recíproco no es tan simple: no puedes, a partir de la homología con coeficientes en $\mathbb{R}$ ir a la homología con coeficientes en $\mathbb{Z$ solo a través de los grupos de homología mismos, ya que por ejemplo $H_*(\mathbb{R}P^3;\mathbb{R}) \cong H_*(S^3,\mathbb{R})$, lo cual se puede ver a partir de los cálculos anteriores, pero $H_*(\mathbb{R}P^3; \mathbb{Z})$ no es isomorfo a $H_*(S^3,\mathbb{Z})$ como es bien conocido.
