Demostrar que $\lim_{n\to\infty} |a_n| = |a|$

Question

¡Sea $\lim_{n\to\infty} a_n = a$. Demuestra que $\lim_{n\to\infty} |a_n| = |a|$.

En primer lugar, me pregunto qué significa la afirmación. Estoy estudiando la teoría hoy. Sé que $a_n$ es el término general de una secuencia (y de una serie). Es decir, debería ser igual a la fórmula que da el patrón de la secuencia. Si ingresamos un número en la n de la fórmula, obtenemos la salida para el número ingresado. ¿Por otro lado, $a$ representa el punto de acumulación de una secuencia, ¿verdad?

¿Podrías mostrarme la demostración de la afirmación anterior y decirme si malinterpreté algo en mi redacción, por favor?

Answer 1

No necesitamos conocer los valores exactos de una secuencia para poder hablar de ella. Decir que hay una secuencia {$a_n$} significa simplemente que tenemos un conjunto numerable de valores en un orden. No significa que tengamos una definición para ellos.

En el uso práctico a menudo (aunque lejos de siempre) tenemos una definición, de lo contrario no tendríamos un método para predecir o describir la secuencia. Pero no hay razón para asumir que al hablar de una secuencia podemos predecirla o describirla.

En este caso, lo único que sabemos sobre esta secuencia es que converge a un número real que hemos etiquetado como $a$. La definición de un límite explica lo que esto significa. (Para cada $\epsilon$ > 0 entonces hay un M grande tal que para todos los $n> M$ entonces los términos $a_n$ están a menos de $\epsilon$ de distancia de a; es decir, |$a_n - a| < \epsilon$.) Necesitas demostrar mediante esta definición, que el límite de los valores absolutos de esta secuencia (sea cual sea la **** que sea la secuencia en realidad) converge al valor absoluto del límite original.

PISTA: si sigues la definición de convergencia con precisión, no es difícil. Si |a - b| < c, ¿qué se puede decir sobre ||a| - |b||?

Answer 2

Supongamos que $lim_{n{\rightarrow}{\infty}} a_n=a$

Entonces para cada $\epsilon>0$, existe un $N \in \mathbb N$ tal que para cada $n>N$, $|a_n-a|<\epsilon$.

Por la desigualdad triangular, tenemos $|a+b|\leq |a|+|b| \Rightarrow ||a|-|b||\leq |a-b|.

Así que observamos que $||a_n|-|a||\leq|a_n-a|$

Dado que $|a_n-a|<\epsilon \Rightarrow ||a_n|-|a||< \epsilon$

Por lo tanto $lim_{n{\rightarrow}{\infty}} |a_n|=|a|$ para cada $n>N$.