La ecuación diofántica $ \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{x_{n}} = \prod_{k=1}^{N} \left(1-\frac{1}{x_{k}} \right) $

Question

Antecedentes

Me pregunto si existen números racionales tales que sus representaciones en fracciones egipcias (suma) sean iguales a su producto egipcio análogo. En otras palabras, estoy curioso1 sobre las soluciones a la ecuación diofántica

$$ \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{x_{n}} = \prod_{k=1}^{N} \left(1-\frac{1}{x_{k}} \right) \tag{1}\label{1} $$

tal que $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{N-1} < x_{N} \in \mathbb{N}^{+}$.

Soluciones

Aquí hay algunas soluciones a la ecuación \eqref{1} para valores pequeños de $N$:

• Cuando $N=2$, la única solución parece ser $(x_{1},x_{2}) = (3,5) $, lo que da como resultado el número racional $\frac{8}{15}$.
• Para $N=3$, tenemos la solución $(x_1, x_2, x_3) = (3,6,28)$, dando como resultado el número racional $\frac{15}{28}$.
• Para $N=4$, he encontrado hasta ahora ocho soluciones. Sea $x_{a}^{4}$ la $a$-ésima solución de la ecuación en cuatro variables. Entonces tenemos $x_{1}^{4} = (3, 7, 24, 52)$, $x_{2}^{4} = (3, 9, 15, 37) $, $x_{3}^{4} = (3, 9, 16, 32)$, $x_{4}^{4} = (3, 10, 15, 26)$, $x_{5}^{4} = (4, 5, 15, 36)$, $x_{6}^{4} = (4,5,17,28)$, $x_{7}^{4} = (4,7,8,35)$, y $x_{8}^{4} = (5,6,10,12)$. Estas soluciones corresponden a los números racionales $\frac{391}{728}$, $\frac{899}{1665}$, $\frac{155}{288}$, $\frac{7}{13}$, $\frac{49}{90}$, $\frac{324}{595}$, $\frac{153}{280}$, y $\frac{11}{20} $, respectivamente. El usuario Max Alekseyev ha encontrado un total de 24 soluciones.
• Como señaló el usuario Brendan Mckay, también hay soluciones para el caso de $N=5$. Denotemos $x_{a}^{5}$ como la $a$-ésima solución de la ecuación cuando $N=5$. Entonces también tenemos: $ x_{1}^{5} = (4,5,11,341,115820), x_{2}^{5} = (3,10,11,73, 37050)$, y $x_{3}^{5} = (3,9,11,458,209146) $. El usuario David desJardins afirma que hay 293 soluciones en total.
• El usuario Max Alekseyev ha encontrado soluciones cuando $N=6$ y $N=7$, incluyendo: $x_{1}^{6} = (3,7,27,50,336,1060) $ y $x_{1}^{7} = (3,7,13,15,16,35,96)$. También ha encontrado soluciones cuando $N=8, \dots , 13$.

El usuario David desJardins obtiene 9219 soluciones cuando $N=6$, las cuales afirma son todas en este caso.

Según la respuesta del usuario Cactus a la versión de MSE de esta pregunta, hay un número finito de soluciones para esta ecuación para todo $N \geq 1$.

Ecuación Relacionada

Sé que en el problema de Znám, se estudian las soluciones a la ecuación $$ \sum \frac{1}{x_{i}} + \prod \frac{1}{x_{i}} = y \tag{2}\label{2} $$, donde $y$ y cada $x_{i}$ deben ser enteros. Sin embargo, esta ecuación es diferente de la descrita anteriormente.

Preguntas:

1. ¿Ha sido descrita y estudiada la ecuación \eqref{1} en la literatura matemática anteriormente?
2. ¿Existen soluciones para esta ecuación diofántica para $N \geq 5$? En caso afirmativo, ¿cuáles son las soluciones respectivas para los valores correspondientes de $N$, y cuántas hay?
3. ¿Existen soluciones cuando $N \to \infty$?

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1 He hecho otra versión de esta pregunta en MSE

Answer 1

Puedo responder, al menos, a la pregunta 3: Sí, hay (bastantes) soluciones para "N=infinito". Y resultará que responder a esto con más detalle resuelve al menos parte de la pregunta 2: hay al menos una solución para cada N positivo>1.

El "proceso analítico"

Comienza con el conjunto vacío de enteros, dando como resultado LHS=0 y RHS=1. Ahora haz lo siguiente repetidamente: elige el entero positivo más pequeño que (1) no se haya usado todavía y (2) conserva la condición LHS < RHS.

Siempre hay un entero así, ya que un x lo suficientemente grande hará que los cambios en LHS, RHS sean tan pequeños como desees. Así que el proceso continúa para siempre.

El LHS está aumentando y el RHS está disminuyendo. Cualquier valor de LHS es un límite inferior para todos los RHS posteriores, y cualquier valor de RHS es un límite superior para todos los LHS posteriores. Así que el LHS y el RHS son secuencias monótonas acotadas y, por lo tanto, tienen límites.

Afirmo que los límites son iguales; si $R-L$ está acotado por debajo por $\delta$ entonces cualquier $n>1/\delta$ es aceptable para la condición 2, así que eventualmente usaremos todos esos $n$ -- pero estos $n$ por sí solos son suficientes para hacer que el LHS diverja hacia el infinito y el RHS hacia cero, lo cual es una contradicción.

A simple vista, esta no es una construcción muy explícita -- obviamente puedes simplemente hacerlo pero no está claro cómo es el resultado. Pero de hecho resulta que podemos entenderlo bastante bien.

El "proceso algebraico"

Supongamos que en cierto punto tenemos una suma parcial $L$ y un producto parcial $R$. El siguiente $n$ será el entero más pequeño mayor que $(R+1)/(R-L)$. Escribimos $p=(R+1)/(R-L)$ y $q=1/(R-L)$. ¡Sostengo que de hecho $p,q$ son siempre enteros!

(Nota que esto también nos dará soluciones para cada $N$: tomamos $n=p$ y los siguientes $L,R$ serán iguales.)

Por lo tanto, inicialmente tenemos $L=0$ y $R=1$ entonces $p,q=2,1$: enteros como se requiere.

Ahora supongamos que $p,q$ son enteros como se afirma. Calcularemos lo que sucede a continuación y veremos que los valores "siguientes" de $p,q$ también son enteros. Específicamente, comencemos por obtener $L,R$ en términos de $p,q$: tenemos $L=(p-q-1)/q$ y $R=(p-q)/q$.

Si $p,q$ son enteros entonces nuestro siguiente $n$ es $p+1$, entonces reemplazamos $L$ con $L'=L+1/(p+1)$ y $R$ con $R'=p/(p+1)\cdot R$. En términos de $p,q$ esto resulta en $L'=(p^2-pq-1)/(p+1)q$ y $R'=(p^2-pq)/(p+1)q$.

Esto significa que $R'-L'=1/(p+1)q$ y por lo tanto $p'=(R'+1)/(R'-L')=p^2+q$ y $q'=1/(R'-L')=(p+1)q$. Y si $p,q$ son enteros entonces también lo son $p',q'$.

Entonces, para resumir:

• Escribimos $p_1,q_1=2,1$ y $p_{n+1},q_{n+1}=p_n^2+q_n,(p_n+1)q_n$.
• Obtenemos una solución para "n=infinito" tomando nuestros enteros como $p_n+1$. Obtenemos una solución para cualquier $n$ finito tomando una subsecuencia inicial de los $p+1$ y luego, finalmente, el siguiente $p$.
• La suma parcial y el producto parcial resultantes son $(p_n-q_n-1)/q_n$ y $(p_n-q_n)/q_n$.
• Las diferencias RHS-LHS son $1/q_n$.
• El límite común de LHS y RHS (en el caso de "n=infinito") es el límite de $p_n/q_n-1$.

Generalizando un poco

Las cosas que he (algo dudosamente) llamado "analíticas" y "algebraicas" son simplemente dos formas de ver el mismo proceso exacto, por supuesto. Pero si hacemos algo ligeramente diferente a uno de ellos, puede que no tenga un equivalente en términos del otro.

Específicamente, podemos modificar el proceso "analítico" para dar (como se prometió al principio) "bastantes soluciones" para $N=\infty$. Supongamos que realizamos ese proceso tal como se describe excepto que algunas veces elegimos un número más grande de lo que se solicita. Todo seguirá funcionando, y obtendremos una solución para "$N=\indefinido$", pero ya no será descriptible en buenos términos "algebraicos". Esto nos da infinitas soluciones para "$N=\indefinido". Si queremos más, entonces (creo -- no lo he pensado extremadamente cuidadosamente) podemos hacer el proceso “analítico” excepto que en cada paso usemos o bien el número solicitado o bien el número 1 más grande, y nuevamente siempre obtendremos que el LHS y el RHS convergen a un valor común. Así que hay infinitas soluciones.

Alternativamente, podríamos modificar el proceso "algebraico": empezar con algún $p_1,q_1$ diferentes y hacer los cálculos correspondientes. Esto nos dará diferentes valores iniciales de $L,R$, y el resultado final tendrá la propiedad de que $L+\sum 1/n=R\cdot\prod(1-1/n)$. Esto no será (excepto por alguna monstruosa coincidencia) una solución al problema original, pero de todos modos puede ser interesante; por ejemplo, si elegimos $p_1=3,q_1=2$ entonces tendremos $L=0,R=1/2$, entonces esto nos da una solución para $\sum 1/n=1/2\prod(1-1/n)$.

Answer 2

Para cada $N$, puedes enumerar todas las soluciones (finitas) de la siguiente forma.

Supongamos $x_1 < x_2 < \dots < x_N$. Para cada solución parcial $(x_1,\dots,x_j)$, con $j < N$, será "viable" si se cumplen ambas de estas dos condiciones:

$$1/x_1+\cdots+1/x_j < (1-1/x_1)*\cdots*(1-1/x_j)$$

$$1/x_1+\cdots+1/x_j+1/(x_j+1)+\cdots+1/(x_j+N-j) \ge \\ (1-1/x_1)*\cdots*(1-1/x_j)*(1-1/(x_j+1))*\cdots*(1-1/(x_j+N-j))$$

Para cada $(x_1,\dots,x_j)$ viable, solo hay un número finito de $x_{j+1}>x_j$ tal que $(x_1,\dots,x_j,x_{j+1})$ es viable. Por lo tanto, comienza con la solución parcial vacía $()$, y enumera todas las soluciones parciales viables como un árbol. Luego, para cada $(x_1,\dots,x_{N+1})$ viable, verifica si hay un entero $x_N$ que crea una solución completa.

Este algoritmo es lo suficientemente rápido para enumerar las 293 soluciones para $N=5$ casi al instante, y las 9219 soluciones para $N=6$ en varios minutos. Probablemente no sea factible para $N=7$ sin alguna optimización adicional.

Answer 3

Una respuesta corta relacionada con la pregunta Q3 del OP, derivada de la respuesta de Gareth y mis comentarios: Define el polinomio (característico) de la secuencia $x=\{x_1,...,x_N\}$, $$ \tag{1}\label{eq:1} P_{x}(\xi)=\prod_{k=1}^N(x_k-\xi) \, . $$ Entonces, el (1) del OP es equivalente a $$ \tag{2}\label{eq:2} \frac{P_{x}(1)}{P_{x}(0)} + \frac{P_{x}'(0)}{P_{x}(0)} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad P_{x}(1) + P_{x}'(0) = 0 \, . $$ Denote la solución infinita mínima (menor $x_k$) construida con el algoritmo de Gareth $$ \tag{3}\label{eq:3} x^\mathrm{min} = (3, 6, 29, 803, 643727, 414383582243, 171713753231982206218247, \ldots) \, . $$ Define una familia de polinomios (Eliminaré el superíndice min) $$ \tag{4}\label{eq:4} p_n(\xi) = \prod_{k=1}^n(x^\mathrm{min}_k - \xi) $$ que cumplen $$ \tag{5}\label{eq:5} p_n(1) + p_n'(0) = 1 $$ para todos $n \in \mathbb{N}^{+}$ e incluso para $n=0$, si definimos el producto vacío como uno como es habitual.

A partir de \eqref{eq:5} podemos construir una relación de recursión para $p_n(\xi)$, como $$ \tag{6}\label{eq:6} p_{n}(1)(x_{n+1}-1) + p_{n}'(0) x_{n+1} - p_{n}(0) = 1 \, , $$ de modo que $$ \tag{7}\label{eq:7} x_{n+1} = \frac{p_{n}(1) + p_{n}(0) + 1}{p_{n}(1)+p_{n}'(0)} \stackrel{\eqref{eq:5}}{=} p_{n}(1) + p_{n}(0) + 1 \, . $$ La recursión se convierte en $$ \tag{8}\label{eq:8} p_0(\xi)=1 \, , \qquad \frac{p_{n+1}(\xi)}{p_{n}(\xi)} = p_{n}(1) + p_{n}(0) + 1 - \xi \, . $$ El límite común de la suma y el producto está dado por $$ \lim_{n\to\infty}\frac{p_{n}(1)}{p_{n}(0)} = 0.53572964208911646\ldots \, . $$

Answer 4

He publicado todas las 787,444 soluciones para $N=7$ en este enlace.

Para calcular estas soluciones, he utilizado límites similares a los propuestos en la respuesta de David desJardins, pero solo para los términos $x_1, \dots, x_{N-2}$. Los dos términos restantes satisfacen la ecuación: $$\frac{a}{c}+\frac{1}{x_{N-1}}+\frac{1}{x_N} = \frac{b}{c} \big(1-\frac1{x_{N-1}}\big)\big(1-\frac1{x_N}\big),$$ donde $\frac{a}{c} := \sum_{i=1}^{N-2} \frac1{x_i}$, $\frac{b}{c} := \prod_{i=1}^{N-2} (1-\frac1{x_i})$, y $\gcd(a,b,c)=1$, lo cual es equivalente a $$\big((a-b) x_{N-1} + b+c\big)\cdot \big((a-b) x_N + b+c\big) = b(a-b) + (b+c)^2$$ de donde los valores adecuados de $x_{N-1}$ y $x_N$ pueden determinarse eficientemente mediante el factorizado del lado derecho.

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También he agregado el conteo de soluciones a la OEIS en la secuencia A369469. Una secuencia A369470 similar enumera soluciones con términos posiblemente iguales.

Answer 5

Unicidad para $N<4$:

Relacionado con Q1, tenemos pruebas simples para un número limitado de soluciones cuando $N=2$ o $N=3$. La solución dada para $N=2$ es única. La que aparece en la pregunta para $N=3$ es única solamente si requerimos que todas las variables sean estrictamente distintas.

$N=2$

Expandiendo el producto y recolectando términos semejantes obtenemos

$1-\dfrac2{x_1}-\dfrac2{x_2}+\dfrac2{x_1x_2}=0$

Limpiando las fracciones y moviendo el término constante hacia la derecha:

$x_1x_2-2x_1-2x_2=-1$

Agregando $4$ a cada lado y el lado izquierdo puede ser factorizado ahora:

$x_1x_2-2x_1-2x_2+4=(x_1-2)(x_2-2)=3$

Como $3$ es primo, la única solución positiva entonces requiere que los factores del lado izquierdo sean $1,3$. Esto permite solamente la solución $\{x_1,x_2\}=\{3,5\}$.

$N=3$

En este caso, expandiendo el producto y limpiando las fracciones obtenemos

$1-\dfrac2{x_1}-\dfrac2{x_2}-\dfrac2{x_3}+\dfrac1{x_1x_2}+\dfrac1{x_1x_3}+\dfrac1{x_2x_3}+\dfrac1{x_1x_2x_3}=0$

Limpiando las fracciones y sumando los términos lineales y constantes para que el lado izquierdo sea factorizable:

$x_1x_2x_3-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+4(x_1+x_2+x_3)-8=(x_1-2)(x_2-2)(x_3-2)=3(x_1+x_2+x_3)-9 Eq. 1

Ahora supongamos sin pérdida de generalidad que $x_1. Entonces

$(x_1-2)(x_2-3)<\dfrac{9x_3-9}{x_3-2}\le18,

donde usamos el hecho de que en soluciones positivas todos los elementos deben ser al menos $3$. Estrictamente hablando, el límite superior podría reducirse a $12$ (con $x_3\ge5$) si las variables son realmente distintas, pero si permitimos valores iguales ($x_1\le x_2\le x_3, x_3\ge 3$) entonces necesitaríamos considerar productos hasta $18$. Veremos que esta distinción hace una diferencia más tarde.

Entonces tenemos un número limitado de pruebas para las cuales $x_2>x_1\ge3$ y $(x_1)(x_2)\le18$. Para correr estas pruebas cada par ordenado candidato se sustituye en $(x_1,x_2)$ y la Ecuación 1 se resuelve para $x_3$. Esto da una solución para $N=3$:

$(x_1,x_2,x_3)=(3,6,28)

como se especifica en la pregunta, si todos los valores son distintos. Sin embargo, si permitiéramos valores repetidos entonces las pruebas adicionales darían una segunda solución:

$(x_1,x_2,x_3)=(4,4,25)

El valor en fracción racional para esta solución repetida es $27/50$. Nótese que el valor mínimo está limitado a ser $\le5$ en ambos casos, coincidiendo con las soluciones para $N$ más alto.

Secuencias Infinitas: Un algoritmo menos avaricioso

Volviendo a Q3, sabemos ahora que hay soluciones de secuencia infinitas. Pero ¿podemos obtener una secuencia que crezca más lentamente que la de Fred Hucht? Tal alternativa es deseable porque evitaríamos que los números aumenten durante más tiempo, generando así una secuencia más agradable y permitiendo más cálculos con herramientas informáticas estándar.

Supongamos que tenemos $k$ términos de una secuencia estrictamente creciente, es decir $x_1,x_2,...,x_k$. Para definir $x_{k+1}$ formamos la ecuación

$\sum\limits_{n=1}^k\dfrac1{x_k}+\dfrac1{m}+\dfrac1{s}=\left(\prod\limits_{n=1}^k\left(1-\dfrac1{x_n}\right)\right)\left(1-\dfrac1{m}\right)\left(1-\dfrac1{s}\right),$ Eq. 2

donde $m$ es un número entero mayor que $x_k$ y $s$ es un número no necesariamente entero para el cual la Ec. 2 se convierte en exacta. Para diferentes números enteros $m$ encontramos que $s$ es una función decreciente de $m$ y que hay un valor máximo de $m$ para el cual $s$ sigue siendo mayor o igual a ese $m$. Nuestra definición de $x_{k+1}$ será ese valor máximo de $m$.

Por ejemplo, si comenzamos con $x_1=3$ entonces $m=6$ da $s=28$ como hemos visto, pero $m=9$ da $s=10.75>9$ versus $m=10$ que da $s=9.6<10$. Por lo tanto, el siguiente término después de $3$ sería $9$ y podemos generar la secuencia

$3,9,21,43,86,172,345,693,1387,2774,5548,...$

dando un valor convergente para la suma/producto de aproximadamente $0.538$. Aunque el segundo número en la secuencia es mayor que el de Fred ($9$ versus $6$), los siguientes números son mucho más pequeños con este algoritmo como si estuvieran en una carrera de tortuga vs. liebre al revés.

Si comenzamos con $x_1=4$ obtenemos

$4,6,15,31,63,128,259,520,1042,2084,4170,...$

con una suma/producto convergente de aproximadamente $0.547$.

Nótese las secuencias casi geométricas en ambos casos anteriores.