¿Converge $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(t) \,dt$?

Question

¿Converge o diverge $\int_{-\infty}^\infty \sin(t) \,dt$? ¿Cómo podría demostrarlo?

¿Debería usar el 'valor principal' para hacer: $$\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a \sin(t)\,dt$$

Answer 1

¿Converge $\int_{-\infty}^\infty \sin (t)\,\mathrm{d}t$?

No, para que el límite exista con límite $L$, entonces para cada par de secuencias $a_n\to-\infty$ y $b_n\to\infty$, tendríamos que

$$\lim\limits_{n\to\infty} \int_{a_n}^{b_n} \sin (t)\,\mathrm{d}t = L$$ lo cual obviamente no es el caso.

El Valor Principal de Cauchy es diferente a la convergencia usual y este valor sí existe, es $$\lim\limits_{a\to\infty}\int_{-a}^a\sin (t) \,\mathrm{d} t = 0.$$

Answer 2

$$\int_{-a}^a \sin(t)\,dt=0$$ para $a>0$ ya que el seno es una función impar. Por lo tanto,

$$\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a \sin(t)\,dt=0.$$