Las pruebas de las leyes de límite y reglas de derivación parecen asumir tácitamente que el límite existe en primer lugar.

Question

Digamos que estaba tratando de encontrar la derivada de $x^2$ usando la diferenciación desde los primeros principios. El argumento usual sería algo así:

Si $f(x)=x^2$, entonces \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} A medida que $h$ se acerca a $0$, $2x+h$ se acerca a $2x$, por lo que $f'(x)=2x$.

A lo largo de este argumento, asumí que $$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ era un objeto realmente significativo, que el límite realmente existía. Realmente no entiendo qué justifica esta suposición. Para mí, a veces la suposición de que un objeto está bien definido puede llevarte a sacar conclusiones incorrectas. Por ejemplo, asumiendo que $\log(0)$ tiene sentido, podemos concluir que $$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$ Así que la suposición de que $\log(0)$ representaba algo significativo nos llevó a concluir incorrectamente que era igual a $0$. A menudo, para demostrar que un límite existe, lo manipulamos hasta que podemos escribirlo en una forma familiar. Esto se puede ver en las demostraciones de la regla de la cadena y la regla del producto. Pero a menudo parece que esa manipulación solo puede justificarse si sabemos que el límite existe en primer lugar. Entonces, ¿qué está realmente sucediendo aquí?

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Como otro ejemplo, la regla de la cadena a menudo se enuncia como:

Supongamos que $g$ es diferenciable en $x$, y que $f$ es diferenciable en $g(x)$. Entonces, $(f \circ g)$ es diferenciable en $x$, y $$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$

Si la prueba de que $(f \circ g)$ es diferenciable en $x$ simplemente consiste en calcular la derivada usando la definición de límite, entonces nuevamente me siento insatisfecho. ¿Esta computación no hace nuevamente la suposición de que $(f \circ g)'(x)$ tiene sentido en primer lugar?

Answer 1

La derivada no existe a menos que exista el límite del cociente diferencial.

La "ley del límite" que dice que el límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los dos límites separados no es aplicable a menos que los dos límites separados existan. Observa que

• No existen casos donde los dos límites separados existan y el límite de la suma no lo haga. Si los dos límites separados existen, entonces también lo hace el límite de la suma.

• Sin embargo, hay casos en los que los dos límites separados no existen y el límite de la suma sí lo hace. Una situación similar que se aplica a productos en lugar de sumas surgió en algo que publiqué aquí recientemente (ahora mismo no puedo encontrarlo). Para uno de los dos factores, el límite no existía, pero la función estaba acotada y, por lo tanto, el límite del producto se pudo encontrar mediante el "squeeze theorem".

Answer 2

No se utilizó ninguna propiedad del límite en el primer argumento antes del último paso, por lo que en realidad lo que hemos hecho dentro del límite es simplemente reescribir y cuando alcanzamos el último paso, podemos mostrar la existencia utilizando la definición de epsilon-delta que aparentemente trata el problema de la existencia. Lo mismo aplica para la regla de la cadena, ya que todo en la demostración antes de los últimos pasos es simplemente reescribir y los pasos finales utilizan las propiedades de los límites, lo cual está justificado ya que la definición de epsilon-delta trata el problema de la existencia. Espero que esto ayude.

Answer 3

El problema desaparece en gran medida si consideramos explícitamente $\lim$ y $\log$ como funciones parciales. Una función parcial se puede ver como una función cuyo codominio contiene un elemento adicional (¡distinguible!), básicamente el "valor de error". $$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$ donde tenemos por ejemplo $$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$

Ahora, la ley del logaritmo $$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$ se debe entender con un operador $+$ "elevado", que simplemente pasa el fallo en cualquiera de los lados. Pero eso significa que para este operador, no podemos inferir de $p+q=p$ que $q=0$, porque $\text{ERR}+q$ ¡siempre es $\text{ERR}$ sin importar qué! En cambio, solo de $\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$ podemos inferir que $q = \text{OK}(0)$. Así que no llegamos a la conclusión incorrecta sobre $\log(0)$, porque ese no es un valor $\text{OK}$.

Aplicado a los límites en la diferenciación, podemos escribir inmediatamente $$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$ simplemente notando que el resultado podría ser $\text{ERR}$. Lo que también podemos hacer sin ningún problema es reescribir la expresión dentro del límite con cualquier cosa que, como una función $h\mapsto\ldots$, sea realmente (extensionalmente) la misma. Esto no es un problema en particular para $$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$ porque $h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ y $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ realmente son iguales para todo $h\in\mathbb{R}$. Aún así, en este punto no sabemos si alguno de los límites realmente existe: podrían ser ambos $\text{ERR}$, o ambos $\text{OK}$, pero en cualquier caso serían iguales.

Para el siguiente paso necesitamos el hecho de que el límite considera su argumento solo como una función con números distintos de cero como dominio, porque solo considerada como una función en ese dominio, $h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$ es la misma función que $h\mapsto 2\cdot x+h$.

Y eso es todo, en este punto podemos ver que el límite es de hecho $\text{OK}(2\cdot x)$ y retrocediendo vemos que los otros límites también deben haber sido $\text{OK}$ con ese mismo valor.

Answer 4

Ten en cuenta que $\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$ no está definido en $h=0$ y que, cuando $h \ne 0$,

$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$

Sin embargo, la función $:x \mapsto 2x+h$ está definida, es continua y tiene un valor de $2x$ en $h=0$.

También necesitamos usar

$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$

El resto sigue.

Answer 5

Si queremos ser absolutamente claros, entonces el argumento para la derivada debería ser el siguiente: $\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ y $\lim\limits_{h\to0}2x+h$ existen y son iguales si y solo si al menos uno de ellos existe. Dado que $\lim\limits_{h\to0}2x+h$ de hecho existe y es $2x$, entonces también debe existir el otro límite (eso es $\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$) y ser $2x$.

Esto no funciona para tu ejemplo de logaritmo: Puedes argumentar que $\log0$ y $\log0+\log0$ existen y son iguales si al menos uno de los dos existe. Pero ninguno existe, por lo tanto el punto es irrelevante.