Las pruebas de las leyes de límite y reglas de derivación parecen asumir tácitamente que el límite existe en primer lugar.

Question

Digamos que estaba tratando de encontrar la derivada de $x^2$ usando la diferenciación desde los primeros principios. El argumento usual sería algo así:

Si $f(x)=x^2$, entonces \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} A medida que $h$ se acerca a $0$, $2x+h$ se acerca a $2x$, por lo que $f'(x)=2x$.

A lo largo de este argumento, asumí que $$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ era un objeto realmente significativo, que el límite realmente existía. Realmente no entiendo qué justifica esta suposición. Para mí, a veces la suposición de que un objeto está bien definido puede llevarte a sacar conclusiones incorrectas. Por ejemplo, asumiendo que $\log(0)$ tiene sentido, podemos concluir que $$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$ Así que la suposición de que $\log(0)$ representaba algo significativo nos llevó a concluir incorrectamente que era igual a $0$. A menudo, para demostrar que un límite existe, lo manipulamos hasta que podemos escribirlo en una forma familiar. Esto se puede ver en las demostraciones de la regla de la cadena y la regla del producto. Pero a menudo parece que esa manipulación solo puede justificarse si sabemos que el límite existe en primer lugar. Entonces, ¿qué está realmente sucediendo aquí?

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Como otro ejemplo, la regla de la cadena a menudo se enuncia como:

Supongamos que $g$ es diferenciable en $x$, y que $f$ es diferenciable en $g(x)$. Entonces, $(f \circ g)$ es diferenciable en $x$, y $$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$

Si la prueba de que $(f \circ g)$ es diferenciable en $x$ simplemente consiste en calcular la derivada usando la definición de límite, entonces nuevamente me siento insatisfecho. ¿Esta computación no hace nuevamente la suposición de que $(f \circ g)'(x)$ tiene sentido en primer lugar?

Answer 1

Es cierto que realmente no tiene sentido escribir $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ a menos que ya sepamos que el límite existe, pero en realidad es solo un problema gramatical. Para ser precisos, podríamos primero decir que el cociente de diferencias se puede reescribir como $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$, y luego usar el hecho de que $\lim\limits_{h\to 0}x=x$ y $\lim\limits_{h\to 0}h=0$, así como la ley del producto constante y la ley de la suma para límites.

Agregando a la última oración: la mayoría de las propiedades familiares de los límites se escriben "al revés" de esta manera. Es decir, la "ley de la suma de límites" dice $$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ siempre que $\lim\limits_{x\to c}f(x)$ y $\lim\limits_{x\to c}g(x)$ existan. Por supuesto, si no existen, entonces la ecuación que acabamos de escribir no tiene sentido, por lo que realmente deberíamos comenzar con esa afirmación.

En la práctica, uno generalmente puede ser un poco informal aquí, si no es otra razón que para ahorrar palabras. Sin embargo, en una clase introductoria de análisis, probablemente querrías ser tan cuidadoso como razonablemente puedas.

Answer 2

Las otras respuestas son perfectamente válidas; solo una perspectiva que puede salvarte el día en situaciones en las que la existencia del límite es realmente un punto crítico.

La definición crucial es la de limsup y liminf: estas siempre están bien definidas, y todo lo que tienes que saber en este momento son las siguientes dos propiedades:

1. $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
2. El límite de $f$ existe si y solo si $\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $, y en este caso el límite coincide con este valor.

Ahora imagina que haces tu cálculo dos veces: primero, calculas el liminf; luego calculas el limsup. En ambas evaluaciones, tan pronto como llegues a algo que realmente tiene límite (como $2x+h$), debido a la propiedad (2) puedes olvidarte de la historia de inf/sup y simplemente calcular el límite.

Dado que, con algunas manipulaciones, llegas a algo que realmente tiene límite, ambos cálculos darán el mismo resultado y, nuevamente debido a la propiedad (2), el límite existe y coincide con el valor que acabas de calcular.

Ahora, esto no es realmente lo que deberías hacer si estás haciendo un análisis introductorio y no conoces liminf y limsup: las propiedades formales de estos dos son ligeramente diferentes de las propiedades formales de lim, y podrías terminar con un error. Pero siempre y cuando no "toques" el límite, y simplemente hagas algunas manipulaciones dentro del límite, el mismo argumento seguirá: si obtienes un resultado bien definido, es el límite :)

Answer 3

Lo que tenemos aquí realmente debería interpretarse como múltiples afirmaciones:

(1.) Si $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $ existe entonces $ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ existe y es igual a $\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $.

(2.) Si $ \lim_{h \to 0} [2x + h] $ existe entonces $ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ existe y es igual a $\lim_{h \to 0} [2x + h]$.

(3.) Si $ \lim_{h \to 0} 2x$ existe entonces $ \lim_{h \to 0} [2x + h]$ existe y es igual a $ \lim_{h \to 0} 2x$.

(4.) $ \lim_{h \to 0} 2x$ existe y es igual a $ 2x $.

Nota que una vez tenemos (4.) la parte "si" (condicional) de (3.) se cumple y así sucesivamente hasta llegar a (1.). Puedes ver que asumir que el límite existe en las afirmaciones del 1 al 3 no es un problema porque no has usado esa suposición para probar que realmente lo hace. Eso sería lógica circular y no sería bueno.

Tu ejemplo de logaritmo es diferente a esto en la forma en que no tienes una afirmación que tome el papel de la afirmación (4.) arriba, que te permitiría escapar de la condicional. Solo has demostrado que $\log(0) = 0$ SI $\log(0)$ existe, ¡no que $\log(0)$ existe! En sí mismo, esta no es una conclusión incorrecta.

Answer 4

Si deseas ser más preciso podrías escribir:

  $f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$ si el límite existe

    $= \lim_{h→0} (2x+h)$ si el límite existe

    $= 2x$.

Lo que significa que cada línea solo contiene "si el límite existe". Pero en la mayoría de los casos no es necesario hacerlo por dos razones:

1. Por lo general, es lo suficientemente fácil agregar mentalmente tales condiciones y asegurarnos de que en ningún momento dependimos de la existencia del límite.

2. Si permitimos que las expresiones alcancen un "valor no definido" y definimos que cada expresión con una subexpresión "no definida" es también no definida, entonces ni siquiera tenemos que escribir la condición "si el límite existe". Si el límite no está definido, entonces la expresión "$\lim \cdots$" simplemente tendrá el valor "no definido", lo cual no conducirá a conclusiones incorrectas.

Answer 5

Proposición: Sea $c \in \mathbb{R}$. Supongamos que $f$ y $g$ están definidas y son iguales entre sí en alguna bola abierta perforada $(c - \delta) \cup (c + \delta)$ de $c$, donde $\delta > 0$. Entonces $\lim_{x \to c} f(x)$ existe si y solo si $\lim_{x \to c} g(x)$ existe. Y si alguno de los límites existe, entonces también existe el otro y ambos son iguales.

Bosquejo de prueba: Observemos que la definición de límite en un punto $c$ se refiere únicamente a puntos cercanos a $c$ pero no iguales a $c$. Entonces, sea cual sea el valor de $f$ o $g$ en $c$, o si están definidas allí o no, no importa. Dado que $f$ y $g$ son iguales en puntos cercanos a $c$ pero no iguales a $c$, nuestra afirmación de límite sobre cualquier función en $c$ debe valer también para la otra. $\square$

Esto justifica los varios cálculos de límites que a menudo hacemos, como el que mostraste. De hecho, veamos tu ejemplo paso a paso.

Si $f(x)=x^2$, entonces \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align} Cuando $h$ se aproxima a $0$, $2x+h$ se acerca a $2x$, por lo tanto $f'(x)=2x$.

¿Qué significan realmente o implican estas secuencias de cálculos? Bueno, en el paso/igualdad final, calculamos $\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, que acordamos que existe y es igual a $2x$. Dado que la función $\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ es igual a $2x + h$ en algún vecindario perforado de $0$, ahora podemos usar la proposición para concluir que $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$ es igual a $\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, lo que es igual a $2x$. Entonces, pasar de la línea (3) a la línea (2) está justificado. Luego, la función $\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$ es igual a $\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$ en algún vecindario perforado de $0$, por lo tanto, nuevamente podemos usar la proposición para justificar pasar de la línea (2) a la línea (1).

Así que hemos razonado como en retroceso, pero en la práctica esto no es necesario en los cálculos de límites ordinarios. Nuestro razonamiento también "funciona" incluso cuando el límite no existe. Si al final llegamos a un límite que existe, entonces necesariamente podemos trabajar hacia atrás y garantizar que el primer límite inicial existe; y si al final llegamos a un límite que no existe, entonces necesariamente el primer límite inicial no puede existir, de lo contrario podríamos seguir la serie de equivalencias garantizadas por la proposición para asegurar que el límite final existe.

Así que en todos los casos las cosas "funcionan bien". Lo importante es simplemente notar que tenemos ciertas equivalencias lógicas en cada paso: el límite existe en algún punto si y solo si existe en cualquier paso anterior o posterior.