¿Romper pedazos de una barra de caramelo de 10 x 15 - estrategia ganadora?

Question

Dos amigos están jugando un juego donde rompen trozos de una barra de dulce rectangular de 10 x 15. El juego continúa hasta que uno de los jugadores obtiene un pedazo de 1 x 1. En el primer movimiento, el jugador A rompe la barra a lo largo de una línea. El segundo movimiento es que el jugador B elige uno de los dos pedazos y lo rompe a lo largo de una línea (creando 3 piezas en total). El tercer movimiento es que el jugador A puede elegir cualquiera de las tres piezas (no solo las dos últimas) y la rompe a lo largo de una línea. El juego continúa hasta que uno de los jugadores rompe un pedazo quedando un pedazo de 1 x 1.

La pregunta es si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora si i) el perdedor es el jugador que crea un pedazo de 1 x 1 ii) el ganador es el jugador que crea un pedazo de 1 x 1

Mi razonamiento es que después del movimiento $n$ habrá $n + 1$ piezas. Suponiendo un juego óptimo, solo quedarán piezas de 1 x 2 cuando uno de los jugadores se ve obligado a perder en (i). Eso son exactamente 75 piezas, por lo que es después del movimiento 74 que hace el jugador B. Eso significa que el jugador A pierde?

No tengo realmente una buena idea de cómo idear una estrategia para (ii) sin embargo, ¡cualquier ayuda o pista sería muy útil!

Answer 1

Para ambas variantes, $A$ tiene la estrategia ganadora:

El primer movimiento de $A$ siempre será romper la barra por la mitad, en dos piezas de $5 \times 15$. Luego $A$ imitará los movimientos de $B$, de manera que al final del turno de $A$, siempre habrá un número par de piezas de tamaño $m \times n,$ para cada $m,n$ aplicable hasta que $B$ haga un movimiento perdedor.

Para la variante $(i),$ definimos un movimiento perdedor como cuando $B$ hace una pieza de $1 \times 1$. Obviamente, en este punto, $B$ habrá perdido sin necesidad de más acciones de $A$.

Para la variante $(ii),$ definimos un movimiento perdedor como cuando $B$ hace una pieza de $n \times 1$ (o $1\times n$). Es fácil argumentar que la primera vez que esto ocurra será en el turno de $B$ y también que $n > 1$. Por lo tanto, $A$ puede desprender el extremo y ser el primero en crear una pieza $1 \times 1$, ganando el juego.