Error en la prueba: $\mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$??

Question

He involuntariamente "demostrado" la siguiente: $$\mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$$ Me pueden ayudar seguimiento el error que cometí resultante a esta no la prueba? Aquí está.

Primero de todo, el recuerdo de un teorema algebraico sobre el plano complejo: $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)$. El resto de los no-la prueba es acerca de la aparente isomorfismo $\mathbb{C} \times \mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)$.

El anillo de $R[X]$ es un anillo conmutativo con una unidad, así que podemos escribir el ideal $(X^2+1)$ como producto de ideales $(X-i)(X+i)$. Estos ideales son indivisable: $(X+i)(X-i) \ni \frac{1}{2}(X+i)-\frac{1}{2}(X-i)=i$, por lo que cada polinomio $q = i^3q \cdot i$ está contenida en la suma de ideales. Ahora podemos utilizar la generalización del teorema del resto Chino: Para un anillo conmutativo R con la unidad y la indivisibilidad de los ideales de la $I,J$ se aplica $R/IJ \cong R/I \times R/J$.

Ahora tenemos $\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \cong \mathbb{R}[X]/(X+i) \times \mathbb{R}[X]/(X-i)$. Recuerdo que por cada homomorphism de los anillos de $f: R \rightarrow S$ el isomorfismo $R/\ker(f) \cong f(R)$ mantiene. Considerar la asignación de $s_r \ : \ R[X] \rightarrow S \ : \ \sum a_i X^i \mapsto \sum a_i r^i$. Esta sustitución mapa es un homomorphism. Un caso especial es el de homomorphism $s_i \ : \ \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{C} \ : \ \sum a_i X^i \mapsto \sum a_i r^i$ que sustituye $i$$X$. Su núcleo es exactamente el ideal $(X-i)$. La imagen clairy contiene $\{ a + bi: a,b \in \mathbb{R} \} = \mathbb{C}$, y la imagen se encuentra en \matbb{C} así. Así obtenemos $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X+i)$. El mismo truco con la sustitución s_{-i} muestra que $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X-i)$. Esto se traduce en $\mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$. Aquí termina la "prueba".

Me siento un poco mal por el uso de $s_i$, debido a $i \notin \mathbb{R}$, pero recuerdo que una similar en la asignación tuvo que ser utilizado para la prueba de que $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)$.

Yo estaría muy agradecido si me puedes ayudar a tamizar a través de esto y encontrar el error(s).

Answer 1

No es demasiado difícil de encontrar. $i\notin\mathbb R$.

Lo que su prueba no en el hecho de mostrar es que por el Resto Chino, $\mathbb C[X]/(X^2+1)\cong \mathbb C\times\mathbb C$.

El núcleo de su homomorphism es $(X^2+1)$, no $(X-i)$, ya que el $X-i\notin\mathbb R[X]$.

Answer 2

¿Qué $\mathbb{R}[X]/(X+\operatorname{i})$ significa? El polinomio $X+\operatorname{i}$ no pertenece a $\mathbb{R}[X]$, y por lo $\mathbb{R}[X]/(X+\operatorname{i})$ no tiene sentido. Esto es debido a que $\operatorname{i}$ no pertenece a $\mathbb{R}$.

Answer 3

$\Bbb R[x]/(x+i)$ no está definido como: $x+i$ no está aún en $\Bbb R[x]$.