He involuntariamente "demostrado" la siguiente: $$\mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$$ Me pueden ayudar seguimiento el error que cometí resultante a esta no la prueba? Aquí está.
Primero de todo, el recuerdo de un teorema algebraico sobre el plano complejo: $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)$. El resto de los no-la prueba es acerca de la aparente isomorfismo $\mathbb{C} \times \mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)$.
El anillo de $R[X]$ es un anillo conmutativo con una unidad, así que podemos escribir el ideal $(X^2+1)$ como producto de ideales $(X-i)(X+i)$. Estos ideales son indivisable: $(X+i)(X-i) \ni \frac{1}{2}(X+i)-\frac{1}{2}(X-i)=i$, por lo que cada polinomio $q = i^3q \cdot i$ está contenida en la suma de ideales. Ahora podemos utilizar la generalización del teorema del resto Chino: Para un anillo conmutativo R con la unidad y la indivisibilidad de los ideales de la $I,J$ se aplica $R/IJ \cong R/I \times R/J$.
Ahora tenemos $\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \cong \mathbb{R}[X]/(X+i) \times \mathbb{R}[X]/(X-i)$. Recuerdo que por cada homomorphism de los anillos de $f: R \rightarrow S$ el isomorfismo $R/\ker(f) \cong f(R)$ mantiene. Considerar la asignación de $s_r \ : \ R[X] \rightarrow S \ : \ \sum a_i X^i \mapsto \sum a_i r^i$. Esta sustitución mapa es un homomorphism. Un caso especial es el de homomorphism $s_i \ : \ \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{C} \ : \ \sum a_i X^i \mapsto \sum a_i r^i$ que sustituye $i$$X$. Su núcleo es exactamente el ideal $(X-i)$. La imagen clairy contiene $\{ a + bi: a,b \in \mathbb{R} \} = \mathbb{C}$, y la imagen se encuentra en \matbb{C} así. Así obtenemos $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X+i)$. El mismo truco con la sustitución s_{-i} muestra que $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X-i)$. Esto se traduce en $\mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$. Aquí termina la "prueba".
Me siento un poco mal por el uso de $s_i$, debido a $i \notin \mathbb{R}$, pero recuerdo que una similar en la asignación tuvo que ser utilizado para la prueba de que $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)$.
Yo estaría muy agradecido si me puedes ayudar a tamizar a través de esto y encontrar el error(s).
