¿Es posible esta propiedad para un polinomio con coeficientes enteros?

Question

Encontré esta pregunta sobre polinomios con coeficientes enteros en un libro sobre resolución de problemas:

Sea $\ p(x) $ un polinomio con coeficientes enteros. Sean $\ a, b, c $ enteros distintos. ¿Es posible que $\ p(a) = b, p(b) = c, p(c) = a $?

Answer 1

Usa el hecho de que $x - y \mid p(x) - p(y)$ para $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$, tres veces; concluimos que

1. $a - b$ divide a $p(a) - p(b) = b - c$,
2. $b - c$ divide a $p(b) - p(c) = c - a$, y
3. $c - a$ divide a $p(c) - p(a) = a - b$.

Entonces cada una de las diferencias $a - b, b - c, c - a$ se dividen mutuamente, y por lo tanto deben ser iguales salvo por el signo. Pero esto es imposible ya que uno de los elementos de $a, b, c$ debe estar entre los otros dos.