Convergencia/Divergencia de la serie infinita $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\left|{\cos n}\right|}}$

Question

Es bien sabido que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ es divergente mientras que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\epsilon}}$ es convergente para un valor positivo fijo de $\epsilon$.

No es difícil demostrar que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$ es divergente utilizando el Test de comparación de límites con $ \displaystyle\frac{1}{n}$. Hay una publicación sobre esta pregunta aquí.

Ahora vienen mis preguntas:

(i) ¿Es $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\left|{\cos n}\right|}}$ convergente o divergente? (He intentado varios tests, como: tests de comparación/límite, pero no logro llegar a una conclusión. Mi intuición es que es divergente...)

(ii) Se afirmó aquí que $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2-\cos n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+(1-\cos n)}}$ es divergente. Entonces, ¿hay una forma general de determinar si $ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+f(n)}}$ con $f(n)>0$ para todos los números naturales $n$, es una serie convergente o divergente?

¿Alguna comentario o respuesta?

Answer 1

Casi Convergente

Si asumimos que $n$ mod $\pi$ está equidistribuido en $[0,\pi)$, entonces $$ \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{1+|\!\cos(n)|}}\tag1 $$ debería converger cuando $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac2\pi\int_0^{\pi/2}n^{-1-\cos(x)}\,\mathrm{d}x &=\sum_{n=1}^\infty\frac2{n\pi}\int_0^1n^{-x}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}\tag2\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac2{n\pi}\int_0^1e^{-x\log(n)}\left(1+O\!\left(x^2\right)\right)\mathrm{d}x\tag3\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac2{n\pi}\left(\frac{1-\frac1n}{\log(n)}+O\!\left(\frac1{\log(n)^3}\right)\right)\tag4 \end{align} $$ converge.

Sin embargo, $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{n\log(n)}$ diverge (por muy poco). Por lo tanto, este razonamiento dice que $(1)$ también debería divergir.

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Menos Convergente

Continuando con la suposición de la equidistribución de $n$ mod $\pi$ en $[0,\pi)$, $$ \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{2-\cos(n)}}\tag5 $$ debería converger cuando $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\frac2\pi\int_0^{\pi/2}n^{-2+\cos(x)}\,\mathrm{d}x &=\sum_{n=1}^\infty\frac2\pi\int_0^1n^{-2+x}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}\tag6\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac2\pi\int_0^1n^{-1-x}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2x-x^2}}\tag7\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt2}{n\pi}\int_0^1e^{-x\log(n)}\left(x^{-1/2}+O\!\left(x^{1/2}\right)\right)\mathrm{d}x\tag8\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt2}{n\pi}\left(\frac{\sqrt\pi}{\log(n)^{1/2}}+O\!\left(\frac1{\log(n)^{3/2}}\right)\right)\tag9 \end{align} $$ converge.

Sin embargo, $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{n\log(n)^{1/2}}$ diverge (más rápido que $(4)$). Por lo tanto, este razonamiento dice que $(5)$ también debería divergir.