Realmente deberías buscar definiciones de la función exponencial $e^x$, no definiciones de $e. Aquí están las más importantes que vienen a la mente:
- $e^x$ es la función única $f(x)$ que satisface $f'(x) = f(x)$ y $f(0) = 1.
- $e^x$ es la inversa de la función $\displaystyle \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$.
- $e^x$ es la serie de potencias $\displaystyle \sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{n!}$.
- $e^x$ es el límite $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n$.
Digo esto porque una vez que empieces a pensar en $e^x$, que es de lejos el objeto más fundamental, y no en $e$, la relación entre las definiciones se vuelve mucho más clara. Aquí hay breves bosquejos de pruebas de que las definiciones anteriores son equivalentes:
$1 \Leftrightarrow 2$: si $\frac{d}{dx} g(x) = \frac{1}{x}$ entonces
$$\frac{d}{dx} g^{-1}(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))} = g^{-1}(x).$$
Por el contrario, si $\frac{d}{dx} g(x) = g(x)$ entonces
$$\frac{d}{dx} g^{-1}(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))} = \frac{1}{g(g^{-1}(x))} = \frac{1}{x}.$$
$1 \Leftrightarrow 3$: si $f'(x) = f(x)$ entonces $f^{(n)}(x) = f(x)$ para todos los $n$, por lo tanto $f^{(n)}(0) = f(0) = 1$, así que la serie de Taylor de $f(x)$ tiene todos los coeficientes iguales a $1$. Por el contrario, la función con esa serie de Taylor es su propia derivada y satisface $f'(0) = 1$ usando el hecho de que las series de potencias son diferenciables término a término dentro de su intervalo de convergencia.
$1 \Leftrightarrow 4$: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n$ es el resultado de usar el método de Euler para calcular $f(x)$, donde $f$ satisface $f'(t) = f(t)$ y $f(0) = 1$, a medida que el tamaño del paso $n$ tiende a $\infty.
(Mi opinión personal es que la primera definición es la más fundamental; en general, las afirmaciones de unicidad son muy poderosas. Por ejemplo, hay una demostración muy corta usando la primera definición, que te invito a encontrar, de que $e^{x + y} = e^x e^y$.)
