Correspondencia uno a uno

Question

Mi libro de texto establece la siguiente proposición: Sea $f:R \rightarrow S$ un homomorfismo de anillos y sea $s$ en la imagen de $f$. Entonces $\{r \in R \mid f(r) = s\}$ está en correspondencia uno a uno con $\ker(f).

¿Qué significa tener correspondencia uno a uno con $\ker(f)$? ¿Significa que el conjunto $\{r \in R \mid f(r) = s\}$ y el conjunto $\ker(f)$ tienen la misma cardinalidad?

¡Gracias!

Answer 1

Significa que hay un mapa $g: \{r\in R | f(r) = s\} \rightarrow \operatorname{ker}f$ tal que cada elemento de $\operatorname{ker}f$ es la imagen de uno y solo uno de los elementos de $\{r\in R | f(r) = s\}$. Esto implica que la cardinalidad es la misma.

En este caso, si $s'\in R$ es tal que $f(s') = s$, entonces un mapa de este tipo es $g(r) = r - s'$.

Answer 2

Pista $\rm\ $ Si $\rm\:f(r)\ =\ s\ $ entonces $\rm\ f(r')\ =\ s\ \iff\ 0\ =\ f(r')-f(r)\ =\ f(r'-r)$

Por lo tanto $\rm\ \ f^{-1}(s)\ =\ r\ +\ ker\ f\ =\: $ solución particular + homogénea, como en álgebra lineal.