Métrica estática de De Sitter

Question

Para la métrica dS estática tenemos $$x_{0}=\sqrt{H^{-2}-r^{2}}\sinh(Ht)$$ $$x_{1}=\sqrt{H^{-2}-r^{2}}\cosh(Ht)$$ y la métrica se puede escribir como $$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+dx^{2}_{1}+d\bar x$$ donde el $x$ con barra será simplemente la parte esférica de la métrica final, centrémonos en los dos primeros términos de arriba y calculemos primero esto se puede hacer de la siguiente manera (tomando $g(r)=\sqrt{H^{-2}-r^{2}}$) tenemos $$dx_{0}=\frac{\partial x_{0} }{\partial t}dt+\frac{\partial x_{0} }{\partial r}dr=H\sqrt{H^{-2}-r^{2}}\cosh(Ht)dt-\frac{r\sinh(Ht)}{\sqrt{H^{-2}-r^{2}}}dr$$ y $$dx_{1}=\frac{\partial x_{1} }{\partial t}dt+\frac{\partial x_{1} }{\partial r}dr=H\sqrt{H^{-2}-r^{2}}\sinh(Ht)dt-\frac{r\cosh(Ht)}{\sqrt{H^{-2}-r^{2}}}dr$$ y por lo tanto $$-dx_{0}^{2}+dx^{2}_{1}=-H^{2}g^{2}dt^{2}+(g')^{2}dr^{2}=-(1-H^{2}r^{2})dt^{2}+\frac{H^{2}r^{2}}{1-H^{2}r^{2}}dr^{2}$$ Ahora, para tener la forma correcta de la métrica estática, uno debe hacer lo siguiente, $$\int(\frac{\partial}{\partial r }\frac{H^{2}r^{2}}{1-H^{2}r^{2}})dr=\frac{1}{1-H^{2}r^{2}}+C$$ y la métrica final tiene la forma de $$ds^{2}=-(1-H^{2}r^{2})dt^{2}+(1-H^{2}r^{2})^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}$$ pero como se puede ver, al integrar se producirá una constante de integración C que no admitirá la métrica final correctamente, ¿cómo se debe manejar esto? ¿Uno simplemente ignora la C? ¿Esto está permitido o hay alguna otra derivación alternativa de la métrica final?

Answer 1

La respuesta corta es que tu integración está tanto equivocada como inútil y tu error fue ignorar los otros tres parámetros.

Para una métrica estática de dS tenemos $$x_{0}=\sqrt{H^{-2}-r^{2}}\sinh(Ht)$$ $$x_{1}=\sqrt{H^{-2}-r^{2}}\cosh(Ht)$$ $$x_{2}=r\cos\theta$$ $$x_{3}=r\sin\theta\cos\phi$$ $$x_{4}=r\sin\theta\sin\phi.$$ y la métrica puede ser escrita como $$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+dx^{2}_{1}+dx^{2}_{2}+dx^{2}_{3}+dx^{2}_{4}.$$

Calculaste correctamente los primeros dos términos

$$-dx_{0}^{2}+dx^{2}_{1}=-(1-H^{2}r^{2})dt^{2}+\frac{H^{2}r^{2}}{1-H^{2}r^{2}}dr^{2}.$$ Pero para tener la métrica correcta necesitas calcular los otros tres términos que te darán el término del área de la superficie pero también otro término $dr^{2}$. Un término que es exactamente lo que necesitas para obtener la métrica en la forma $$ds^{2}=-(1-H^{2}r^{2})dt^{2}+(1-H^{2}r^{2})^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}.$$

Y como una pista final (en caso de que necesites otra) la métrica para $dx^{2}_{2}+dx^{2}_{3}+dx^{2}_{4}$ se ve como la métrica completa para el espacio euclidiano 3D (no solo la parte del área de la superficie).