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Question

Sea $a\in\mathbb R$. Supongamos que: $$\lim _{x\to a} \left( f(x) +\frac{1}{|f(x)|} \right) = 0$$ Encuentra $\lim _{x\to a} f(x)$ y demuestra por definición que es el límite. Supongo que el límite es $-1$ pero tengo dificultades para demostrarlo. ¿Alguna sugerencia? ¡Gracias a los que ayuden!

Answer 1

Mira la función $\phi(t) = t + {1 \over |t|}$.

Nota que si $t >0$ entonces $\phi(t) \ge 2.

Nota que $\lim_{t \to 0} \phi(t) = \infty.

En particular, nota que $\phi(t) \le {3 \over 2}$ si y solo si $t \le -{1 \over 2}$.

Nota que al restringirse a $(-\infty,-{1 \over 2}]$, $\phi$ es invertible y la inversa $\eta = \phi^{-1}$ es continua.

Nota que si $y \le {3 \over 2}$ y $\phi(t) = y$, entonces debemos tener $t \le -{1 \over 2}$. Por lo tanto, $\phi(t) = t -{1 \over t} = y$ y multiplicando por $t$ obtenemos la ecuación $t^2-t y -1 = 0$ y por lo tanto $t = { 1\over 2} (y-\sqrt{y^2+4})$. Por lo tanto, $\eta(y) = { 1\over 2} (y-\sqrt{y^2+4})$, que es continua.

Se te da que $\lim_{x \to a} \phi(f(x)) = 0$, en particular, para algún $\delta>0$ tenemos $\phi(f(x)) < {3 \over 2}$ para todo $x \in B(a,\delta)$ y por lo tanto $f(x) < -{1 \over 2}$ para todo $x \in B(a,\delta)$. (En particular, para $x \in B(a,\delta)$, tenemos $\eta(\phi(f(x))) = f(x)).

Dado que $\eta$ es continua en $0$ tenemos $$-1 = \eta(0) = \eta(\lim_{x \to a} \phi(f(x))) = \lim_{x \to a} \eta(\phi(f(x))) = \lim_{x \to a} f(x)$$

Answer 2

Dado que $f(x) + 1 / |f(x)|$ tiene límite en $x = a$, también lo tiene $f(x)$. Denotemos este límite por $\ell$. Entonces, tenemos de la ecuación original que $$\ell + \frac {1} {|\ell|} = 0.$$ Si $\ell > 0$, la expresión de la izquierda siempre es positiva. Por lo tanto, $\ell \leqslant 0$. Entonces, $\ell = 1/\ell$ por lo que $\ell = -1$.