¿Por qué el teorema de convergencia monotona no se aplica en integrales de Riemann?

Question

Acababa de aprender en la clase de teoría de la medida sobre el teorema de convergencia monótona en esta versión:

Para cada secuencia monótonamente creciente de funciones $f_n$ de un espacio medible $X$ a $[0, \infty]$, $$ \text{si}\quad \lim_{n\to \infty}f_n = f, \quad\text{entonces}\quad \lim_{n\to \infty}\int f_n \, \mathrm{d}\mu = \int f \,\mathrm{d}\mu . $$

Intenté averiguar por qué este teorema se aplica solo para una integral de Lebesgue, pero no encontré un contraejemplo para integrales de Riemann, así que agradecería su ayuda.

(Supongo que $f$ podría no ser integrable en algunos casos, pero quiero un ejemplo concreto.)

Answer 1

Las funciones integrables de Riemann (en un intervalo compacto) también son integrables de Lebesgue y las dos integrales coinciden. Por lo tanto, el teorema también es ciertamente válido para integrales de Riemann.

Sin embargo, el límite creciente puntual de una secuencia de funciones integrables de Riemann no necesariamente es integrable de Riemann. Sea $(r_n)$ una enumeración de los racionales en $[0,1]$, y sea $f_n$ como sigue:

$$f_n(x) = \begin{cases} 1 & \text{si $x \in \{ r_0, r_1, \dots, r_{n-1} \}$} \\ 0 & \text{si $x \in \{ r_n, r_{n+1}, \dots \}$} \\ 0 & \text{si $x$ es irracional} \\ \end{cases}$$

Luego, la función límite no es continua en ninguna parte, por lo tanto, no es integrable de Riemann.

Answer 2

Aquí hay una versión del teorema de convergencia monotónica para integrales de Riemann que se puede demostrar sin referirse a la teoría de la medida:

Teorema. Sea $\{f_n\}$ una secuencia no decreciente de funciones integrables de Riemann en $[a,b]$ que convergen puntualmente a una función integrable de Riemann $f$ en $[a,b]$. Entonces $$ \lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx. $$

Una prueba elemental se da en este artículo.

Answer 3

Trabajé aproximadamente dos semanas en una demostración elemental de este problema a principios de este año.

Hay una demostración elemental de algo ligeramente más fuerte: Deja que $f_n$ tienda puntualmente a $0$ en $[0,1]$, con $f_n$ Riemann integrable, y para todo $x$ sup $|f_n(x)| \leq 1$. (Esto tiene la generalización obvia a un intervalo arbitrario, con convergencia puntual a una función Riemann integrable y $f_n$ uniformemente acotada).

Estaré encantado de escribir mi demostración después de que terminen mis exámenes este verano :)

Esta es una versión ligeramente más difícil de un problema dado en este conjunto de problemas para estudiantes de segundo año en la Universidad de Cambridge, aunque también permite asumir que los $f_n$ son continuos.