Evaluar una integral definida

Question

Sea $f'(x)=\frac{192x^3}{2+\sin^4{\pi x}}$ para todo $x\in R,$ y $f\left(\frac{1}{2}\right)=0.$ Si $\int \limits_\frac{1}{2}^1$ $f(x)dx$ pertenece a $\left[m ,M\right],$ entonces los posibles valores de m y M son a)$m=13 , M=24$ \ b)$m=\frac{1}{4}, M=\frac{1}{2}$ \ c)$m=-11 , M=0$ \ d)$m=1 , M=12$

Intenté integrar $f'(x)$ para obtener $f(x)$ pero la integral es muy difícil así que intenté determinar el rango de $f(x)$ donde $x$ pertenece a $\left[\frac{1}{2},1\right]$ luego evaluar la integral pero tampoco pude hacerlo.

Answer 1

Al tomar el numerador más grande posible y el denominador más pequeño posible en el intervalo $[1/2,1]$, encontramos que $f'(x) \leq \frac{192}{2} = 96$. Dado que $f(1/2) = 0$, $f(x)$ no puede crecer más rápido que $96(x-1/2)$, por lo que tu integral es menor que

$$\int_{1/2}^1 96(x-1/2) \; dx = 12.$$

Así que hay un posible valor para $M$. De manera similar, puedes encontrar $m$.