Estoy ajustando un modelo lineal generalizado a un conjunto de datos teóricamente distribuidos de forma exponencial. La distribución exponencial tiene una PDF $$ f(y;\lambda) = \lambda e^{-\lambda y} $$ Esta pregunta Deviance for Gamma GLM da la deviance "normal": $$ 2\sum_{i=1}^n -log(\frac{y_i}{\hat{\mu_i}}) + \frac{y_i-\hat{\mu_i}}{\hat{\mu_i}} $$ que puede ser muy pequeña (<1 cuando el modelo es un buen ajuste). La deviance escalada es una deviance modificada que se supone que sigue una distribución chi-cuadrado con n-p grados de libertad (donde p es el número de regresores del modelo). La fórmula que encontré es la siguiente: $$ \text{scaled deviance} = \frac{\text{deviance}}{\phi} $$ donde $\phi$ es el parámetro de escala asociado con la distribución exponencial. Basándome en esta pregunta ¿El parámetro canónico (y por lo tanto la función de enlace canónica) para una Gamma no es único? el factor de escala es 1, lo que no cambiaría la deviance escalada en comparación con la deviance normal. ¿Cuál es la fórmula/parámetro de escala apropiado que debería usar aquí?
Respuesta
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El parámetro relevante de la exponencial en un modelo lineal generalizado es $\mu$ (que de hecho es un parámetro de escala); específicamente estamos tratando con la parametrización de la media de la exponencial, por supuesto, ya que los GLMs son modelos para la media condicional.
Con un GLM gamma, el parámetro $\phi$ está relacionado con el parámetro de forma de la distribución gamma. Se estima en la salida habitual de un glm Gamma.
En términos de GLM, para la exponencial, $\phi=1$. No hay nada que estimar.
Si deseas usar el GLM gamma para ajustar el modelo exponencial y necesitas inferencia o predicción, debes asegurarte de que el software sepa usar $\phi=1$*. (Algunos software pueden separar la exponencial de los casos restantes de la gamma y encargarse de ello por sí mismos.)
* Por ejemplo, esto es sencillo en R. Se discute en la ayuda de las funciones relevantes, por ejemplo en summary.glm y anova.glm, el argumento dispersion= lo hace -- al establecer dispersion=1 en un GLM gamma, se obtienen los resultados correspondientes a un GLM exponencial. Dejar la dispersión sin especificar hace que se estime para un Gamma.
