Evaluar la integral de línea dada la trayectoria de una hélice.

Question

Evaluar la integral de línea

$$ \int_C zdx + xdy + xydz $$

donde C es la trayectoria de la hélice r(t) = (4cost)i + (4sint)j + (t)k en $0\le t \le 2\pi$

Resolví este problema, pero mi respuesta estaba incorrecta.

x= 4cost

y= 4sint

z= t

dx= -4sint dt

dy= 4cost dt

dz= dt

Sustituí estos valores en la integral anterior e integré para obtener

$$ 4tcost - 4sint + 4t +sin(4t) + 4sint \ |_0^{2\pi} $$

Resolví esto y obtuve 16$\pi$ ¿Alguien puede decirme dónde me equivoqué?

Answer 1

Tu primitiva está mal. Tenemos:

$$ \int_0^{2\pi}(16 \cos^2 t+16 \cos t \sin t-4t \sin t)dt= $$ $$ = 4\left(2t-\sin t +\sin 2t-2\cos^2 t+t \cos t \right) |_0^{2\pi}= 24 \pi $$