¿Los elipsoides proyectan sombras elipsoidales?

Question

Dado un elipsoide n-dimensional en $\mathbb{R}^n$, ¿es cualquier proyección ortogonal del mismo en un subespacio también un elipsoide? Aquí, un elipsoide se define como

$$\Delta_{A, c}=\{x\in \Bbb R^n\,:\, x^TAx\le c\}$$

donde $A$ es una matriz simétrica positiva definida de tamaño n por n, y $c > 0$.

Solo estoy pensando en esto porque proporciona una forma visual agradable de pensar sobre la regresión de mínima norma.

Observo que la SVD demuestra inmediatamente que cualquier imagen lineal (no solo una proyección ortogonal) de un elipsoide también es un elipsoide, sin embargo, podría haber una demostración más geométricamente inteligente cuando el mapa lineal es una proyección ortogonal.

Answer 1

Sí lo hacen. Puedes demostrarlo por inducción en la codimensión del subespacio al que proyectas. Para $x\in Vect(e_1,\ldots e_{n-1})$ existe un $t \in \mathbb{R}$ tal que $x+te_n$ pertenece a $\Delta$ si y solo si el discriminante de la ecuación de grado $2$ $(x+te_n)^TA(x+te_n)\leq c$ con respecto al desconocido $t$ es no negativo, lo que resulta ser una desigualdad cuadrática en $x$.

Answer 2

Sí. Un elipsoide es una transformación lineal de una esfera, y la proyección ortogonal también es una transformación lineal, por lo que basta con demostrar que cualquier transformación lineal cuya imagen sea un subespacio envía una esfera a un elipsoide en ese espacio.

Una transformación lineal puede descomponerse en una proyección ortogonal por su núcleo seguido de alguna transformación lineal invertible. La proyección ortogonal envía una esfera a una esfera en el subespacio, por lo que hemos terminado.

Answer 3

De hecho, los elipsoides proyectan sombras con forma de elipse en el suelo.

La intersección de cualquier conoide y una ecuación de primer grado plano iluminará el terminador entre dos puntos tangenciales es una sección cónica. Se puede demostrar por eliminación a la ecuación de segundo grado cónica.

Answer 4

Ya se han presentado buenas respuestas, pero quiero agregar que también se puede pensar de la siguiente manera:

La proyección ortogonal define un subespacio $\langle e_1, e_2 \ldots e_n \rangle$, y realizamos una transformación ortogonal $R^{T}$, de modo que la matriz $A$ se transforma en $R^{T} A R$, y en la base rotada, los primeros $n-1$ componentes corresponderán a ese subespacio. Después de la rotación, la matriz $A$ conserva su definitividad positiva, y la restricción a la $(n-1) \times (n-1)$ será positiva definida por el criterio de Sylvester. Por lo tanto, este bloque definirá una elipsoide en una dimensión inferior.