¿Cómo verificar si un punto está detrás de un plano (a lo largo de un vector)?

Question

Tengo un vértice arbitrario $v$ en un plano con un vector normal $\vec{n}$, tengo un vector de rayo $\vec{r}$ que estoy disparando a través del plano más o menos, desde un punto $p$, quiero saber si el punto está detrás del plano en relación con el vector del rayo en su lugar (intenté aplicar la misma lógica aquí como si el punto estuviera detrás del plano en relación con el vector normal, pero eso no funcionó)

Ejemplo
plano $(0,0,0)$ $(4,0,0)$ $(0,0,4)$ $(4,0,4)$
normal $\vec{n}$ $[0,1,0]$
rayo $\vec{r}$ $[1,1,0]$
punto $p$ $(1,2,2)$

Quise decir que intenté seleccionar un vértice arbitrario $v=(4,0,4)$ y hacer $\vec{r} \cdot (p-v)$ y resultó incorrecto. Aunque para $v=(0,0,4)$ funciona como se esperaba.

¿Cómo se puede determinar si un punto está detrás de un plano en relación con algún vector?

aquí está mi plano con los vectores normales y de rayo

así es como normalmente se verifica si un punto está detrás de un plano (es decir, $\vec{n} \cdot (p-v)$):

esto es lo que quiero hacer en su lugar:

Answer 1

Definir $$s:=\left(\vec n\cdot\vec r\right)\left((p-v)\cdot\vec n\right).$$

Caso 1: $s=0$ Entonces, el vector del rayo $\vec r$ es paralelo al plano o tu punto $p$ está en el plano.

Caso 2: $s>0$ Entonces, tu punto $p$ está en el mismo semiespacio al que apunta el vector del rayo $\vec r$.

Caso 3: $s<0$ Tu punto $p$ está detrás del plano con respecto al vector del rayo $\vec r$.

Este método funciona ya que $\vec n\cdot \vec r$ verifica si $\vec n$ y $\vec r$ "están en el mismo lado" de tu plano, mientras que $\left((p-v)\cdot\vec n\right)$ verifica si $p$ está en el mismo lado que el vector normal.