Sea $X$ un espacio de Banach con espacio dual $X'$. Sea $N$ un subespacio de $X'$. ¿Alguien puede mostrarme por qué el aniquilador doble de $N$ es su cierre débil*?
Por aniquilador doble me refiero a:
aniquilador $N^{\perp}=\{x\in X:\lambda (x)=0, \forall \lambda \in N\}$
aniquilador doble $(N^{\perp})^{\perp}=\{\lambda\in X':\lambda(x)=0, \forall x \in N^{\perp}\}$
¡Gracias de antemano!
Puedes encontrar una prueba en este enlace en la Proposición 8 (2).
https://math.la.asu.edu/~quigg/teach/courses/578/2008/notes/adjoints.pdf
Nota que el teorema de Hahn-Banach también funciona para espacios localmente convexos (aquí $X^*$ con la topología débil-*) y que un funcional en $X^*$ es débil-* continuo si y solo si es un mapa de evaluación $f \mapsto f(x)$ para algún $x \in X.
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