Cómo hacer $\log x^a = a\log x$ trabajo utilizando varios valores enfoque complejo

Question

La siguiente identidad tiene para todos los $a$ $x$ con el director de la sucursal: $$ \log x^a = a\log x + 2\pi i \left\lfloor \pi\Im (a\log x) \más de 2\pi \right\rfloor $$ por ejemplo, para $a=2$, $x=-1$:

LHS = $\log (-1)^2 = \log 1 = 0$

RHS = $2\log(-1)+ 2\pi i \left\lfloor \pi-\Im (2\log (-1)) \over 2\pi \right\rfloor$ =$2\pi i+ 2\pi i \left\lfloor \pi-\Im (2\pi i) \over 2\pi \right\rfloor = 2\pi i - 2\pi i = 0$

Todo es un único valor y no hay ningún problema.

¿Cómo puedo realizar el mismo cálculo utilizando varios valores logaritmos? En otras palabras, quiero usar el (varios valores) identidad: $$\log x^a = a\log x$$ para $a=2$, $x=-1$. Elijo la misma rama para ambos LHS y RHS, vamos a escoger la rama principal (por lo que podemos reutilizar los valores calculados anteriormente), y luego añadir el $2\pi i n$ plazo para cada logaritmo y obtener:

LHS = $\log (-1)^2 + 2\pi i n = 2\pi i n$

RHS = $2\log(-1) + 2\pi i \left\lfloor \pi-\Im (2\log (-1)) \over 2\pi \right\rfloor + 2\cdot 2\pi i m = 4\pi i m$

Y podemos ver que en el lado izquierdo no es igual a la RHS, de lo contrario $m$ tendría que ser la mitad-entero.

¿De dónde me equivoque? ¿Cómo puedo hacer LHS igual a la RHS el uso de la multivalor enfoque?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\Log}{Log}$

Aquí es lo que Churchill, Marrón, Verhey decir acerca de este caso en particular (Variables Complejas y Aplicaciones, pág. 66, Tercera Edición) y cito:

"La declaración de $\log(z^n)=n\log(z)$ puede o no ser verdadera para determinados valores de $z$ $n$ cuando los valores múltiples complejos función logarítmica es reemplazado por una sola rama. Si usamos la notación $\Log$ para la rama principal de la compleja función logarítmica, tenga en cuenta por ejemplo, que el $\Log[(1+i)^2]=2\Log(1+i)$ mientras $\Log[(-1+i)^2]\neq 2\Log(-1+i)$.",

mientras usted escribe (en los comentarios): "estoy interesado en cómo demostrar la relación $\log(x^a)=a\log(x)$ donde $\log(z)$ es un multi-valor de la analítica de la función."

Con su caso, $\Log(x^a)=a\Log(x)$ mantiene para los valores específicos de $x=-1$$a=2$.

En consecuencia, los valores de $x$ $a$ do la materia, por lo que usted está tratando de demostrar algo que no puede ser cierto en general.

Anexo #1 (después de tu comentario):

No hay tal cosa, pero tienes que ser muy cuidadoso para hacer una clara distinción entre los dos símbolos: $\log(z)$$\Log(z)$. Debido a $\log$ es multivalor y indexados por $k\in\mathbb{Z}$, es más conveniente utilizar la siguiente notación para este mapa:

$$\log(k,z)=\Log(z)+2k\pi i,\,\,k\in\mathbb{Z}\Rightarrow$$

Utilizando el hecho de que:

$$\Log(e^z) = z + 2\pi i \left\lfloor \pi-\Im z \over 2\pi \right\rfloor$$

obtenemos:

$$\log(k,e^z)=z+2\pi i\left(k + \left\lfloor \pi\Im z \más de 2\pi \right\rfloor \right)\,\, k\in\mathbb{Z}$$

Si ahora establecer $z=x^a$ a la del anterior, el uso de la rama principal del logaritmo para definir como: $x^a=e^{\Log(x^a)}$, se obtiene la (varios valores) establecer constructor que está buscando:

$$\log(k,x^a)=\log(k,e^{\Log(x^a)})=\Log(x^a)+2\pi i \left(k + \left\lfloor \pi\Im \Log(x^a) \a más de 2\pi \right\rfloor\right) k\in\mathbb{Z}$$

No se puede reducir el $\Log(x^a)$ por encima de a $a\Log(x)$ (no importa lo que el resto de la expresión), porque eso sería el uso de la identidad de $\Log(x^a)=a\Log(x)$, que como Churchill muestra, no podría mantener por el director de la sucursal y los valores particulares de $x$ $a$ que usted está considerando.

Sin embargo, utilizando la definición de una potencia $x^a = e^{a\Log x}$, obtenemos: $$\log(k,x^a)=\log(k,e^{un\Log(x)})=\Log(x)+2\pi i \left(k + \left\lfloor \pi\Im (a\Log(x)) \más de 2\pi \right\rfloor\right) k\in\mathbb{Z}$$ y el uso de $a\Log x = a\left(\log(l, x) - 2\pi l i\right)$ obtenemos: $$\log(k,x^a)=a\log(l, x)+2\pi i \left(k - la + \left\lfloor \pi\Im (a\Log(x)) \más de 2\pi \right\rfloor\right) ,k,l\in\mathbb{Z}$$

Answer 2

$log(x) = Log(x) + i2\pi n = Log(|x|) + iArg(x) + i2\pi n$ donde $Log$ $Arg$ son los principales valores.

$log(x) + log(x) = 2Log(|x|) + i2Arg(x) + i2\pi n + i2\pi m$

$n$ $m$ son independientes y pueden ser combinados en una única variable $k$.

$alog(x) = aLog(|x|) + iaArg(x) + i2\pi k$

$$alog(x) = aLog(x) + i2\pi k\ \ \ (1)$$

$e^{alog(x)} = e^{aLog(x) + i2\pi k} = x^ae^{i2\pi k} = x^a$ (comprobar)

$$log(x^a) = Log(x^a) + i2\pi k = aLog(x) + i2\pi k\ \ \ (2)$$

Las ecuaciones (1) y (2) son iguales. $$log(x^a) = alog(x) = aLog(x) + i2\pi k\ \ \ (3)$$

También se introducen z para mayor claridad.

$alog(z) = aLog(x) + i2\pi k$

$log(z) = Log(x) + i\frac{2\pi k}{a}$

Tomar la exponencial.

$z = xe^{i\frac{2\pi k}{a}}$

$e^{i\frac{2\pi k}{a}}$ son raíces de la unidad.

Cómo hacer el cálculo:

$log((-1)^2) = Log(1) + i2\pi k = i2\pi k$

$2log(-1) = 2Log(-1) + i2\pi n = 2(i\pi) + i2\pi n = i2\pi (n+1)$

$k = n+1$

Son múltiples las funciones con valores de un riguroso concepto o simplemente una conversación de la taquigrafía?

Answer 3

$$log(z^\frac{p}{q}) = \frac{p}{q}log(z) = \frac{p}{q}(Log(z) + i2\pi k) + i2\pi n$$ La justificación recuerdo es que la exponencial de la LHS es igual a la de los RHS. La derivación fue a lo largo de las líneas de:

Reemplace$z$$ze^{i2\pi k}$. Deje $y=(ze^{i2\pi k})^\frac{p}{q}$. $$log(y) = Log(y) + i2\pi n = Log((ze^{i2\pi k})^\frac{p}{q}) + i2\pi n = \frac{p}{q}Log(ze^{i2\pi k}) + i2\pi n$$ $$log(y) = \frac{p}{q}(Log(z) + i2\pi k) + i2\pi n$$