Demuestra $a^2+b^2+c^2\gt \frac {1}{2018}$ dado $\left({3a + 28b + 35c}\right)\left({20a + 23b +33c}\right) = 1$

Question

Sean $a, b, c$ números reales tales que $\left({3a + 28b + 35c}\right)\left({20a + 23b +33c}\right) = 1$. Demuestra que $a^2+b^2+c^2\gt \frac {1}{2018}$.

Parece una pregunta fácil, pero pensé por un tiempo y no pude resolverla. ¿Alguien me puede dar algunas pistas? Gracias.

Answer 1

Al usar C-S tenemos :

$$|3a+28b+35c| \le \sqrt{3^2+28^2+35^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} \tag 1$$

y

$$|20a+23b+33c|\le \sqrt{20^2+23^2+33^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} \tag 2$$

Multiplicando $(1)$ y $(2)$

$$|(3a+28b+35c)(20+23b+33c)| \le \sqrt{20^2+23^2+33^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{3^2+28^2+35^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2} $$

$$\implies \underbrace{(3a+28b+35c)(20+23b+33c)}_{=1} \le 2018 \cdot (a^2+b^2+c^2) $$

Por lo tanto

$$a^2+b^2+c^2 > \frac{1}{2018}$$

Y, la desigualdad es estricta porque $\frac ba =\frac {28}3$ y $\frac ba =\frac{23}{20}$ no pueden ser verdaderas simultáneamente

Answer 2

Por C-S $$a^2+b^2+c^2=$$ $$=\frac{\sqrt{(3^2+28^2+35^2)(a^2+b^2+c^2)\cdot(20^2+23^2+33^2)(a^2+b^2+c^2)}}{2018}\geq$$ $$\geq\frac{(3a+28b+35c)(20a+23b+33c)}{2018}=\frac{1}{2018}.$$

Answer 3

Con un poco de álgebra lineal:

Un problema equivalente es $$\max_{(a,b,c)\ne 0} \frac{(3a+28b+35c)(20a+23b+33c)}{a^2 + b^2 + c^2}$$ o, de forma equivalente $$\max_{a^2 + b^2 + c^2 =1} (3a+28b+35c)(20a+23b+33c)$$

La forma cuadrática simétrica $$(a,b,c) \mapsto (3a+28b+35c)(20a+23b+33c)=\\=60 a^2 + 629 a b + 799 a c + 644 b^2 + 1729 b c + 1155 c^2$$ está dada por la matriz simétrica

$$\left( \begin{matrix} 60 & 629/2& 799/2 \\629/2 & 644 & 1729/2 \\ 799/2 &1729/2 &1155 \end{matrix}\right)$$

con los autovalores $\frac{3877}{2}$, $-\frac{159}{2}$ y $0$. Según la teoría, el máximo anterior es $\frac{3877}{2}=1938.5$. Así que la mejor estimación para el problema es $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{1938.5}$