Aclaración sobre la acción efectiva de Weinberg y el potencial efectivo

Question

Estoy repasando la sección de la acción efectiva cuántica de Weinberg en su segundo libro, entendí su derivación y razonamiento hasta la ecuación:

$$iW[J]=\int_{\substack{Árboles\\Conectados}}\left[\mathcal{D}\phi\right]exp\left\{i\Gamma[\phi]+i\sum_r\int d^4x\phi(x)J(x)\right\}.\tag{16.1.16}$$

Pero luego argumenta que cualquier gráfico conectado para $iW[J]$ puede considerarse un árbol, siempre y cuando los vértices sean subgráficos 1PI. Luego continúa razonando que la acción efectiva puede escribirse como:

$$i\Gamma[\phi_0]=\int_{\substack{1\text{PI}\\conectados}}[\mathcal{D}\phi]exp\left\{iS[\phi+\phi_0]\right\}.\tag{16.1.17}$$

O como:

$$exp\left\{i\Gamma[\phi_0]\right\}=\int_{1\text{PI}}[\mathcal{D}\phi]exp\left\{iS[\phi+\phi_0]\right\}.\tag{16.1.18}$$

1. ¿Alguien puede aclarar cómo llegó a esta conclusión?

2. En su derivación del potencial efectivo, parte de la acción:

$$S[\phi]=-\int d^4x\left[\lambda+\frac{1}{2}\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi+\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{1}{24}g\phi^4\right]\tag{16.2.1}$$ y quiere calcular la acción efectiva hasta el orden de un loop, por lo que desplaza la acción por $\phi_0$ y como solo quiere hasta el orden de un loop, el único término relevante después del desplazamiento es:

$$\frac{1}{2}\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi+\frac{1}{2}\mu^2\phi^2\,\,\,\,,\,\,\,\,\text{Donde:}\,\,\mu^2=m^2+\frac{1}{2}g^2\phi_0^2.$$

Estoy de acuerdo con esto, ya que este es el único término que puede crear loops cuando se expande en $g$. Pero luego escribe la cantidad deseada que desea calcular:

$$exp\left(i\Gamma^{\text{one loop}}[\phi_0]\right)=\int[\mathcal{D}\phi]exp\left\{-\frac{i}{2}\int d^4x\left[\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi+\mu^2\phi^2\right]\right\}.$$

Y procede con el cálculo. ¿Pero qué pasa con los otros términos no interesantes que no contribuyen al orden de un loop? ¿cómo justifica omitirlos? ¿no debería ser esto:

$$exp\left(i\Gamma^{\text{one loop}}[\phi_0]\right)=\int[\mathcal{D}\phi]exp\left\{-\frac{i}{2}\int d^4x\left[\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi+\mu^2\phi^2\right]+\int d^4x\left[\términos \text{irrelevantes}\right]\right\}$$

¿y así su técnica de integración no es válida?

Answer 1

En cuanto a la segunda pregunta, si alguien está interesado en la justificación de su cálculo, en realidad fue simple, la acción efectiva es igual a los diagramas 1PI creados por la acción clásica (con un desplazamiento), el término cuadrático es el único que puede generar diagramas de un solo bucle, por lo que cuando hacemos un cálculo perturbativo realizamos una expansión y obtenemos una serie de términos, pero solo nos interesan los términos que pueden crear un solo bucle -uno y solo un bucle-, por lo que descartamos toda la basura adicional y nos quedamos con la expansión completa del término relevante que escribí en la pregunta. Otra forma de verlo es decir que los diagramas de un solo bucle son creados por el término cuadrático, entonces podemos decir:

\begin{align} exp\left\{i\Gamma^{1-\text{loop}}[\phi_0]\right\} = \sum_{\substack{\text{diagramas de un solo bucle}}}=\int[d\phi]e^{-\frac{i}{2}\int d^4x\left[\partial_\rho\phi\partial^\rho\phi+\mu^2\phi^2\right]} \end{align}

Todavía soy un novato para pensar en diagramas en lugar de matemáticas, alguien experimentado habría visto inmediatamente.

Edit - Es toda la función de partición ya que esta función de partición solo puede generar una "burbuja" de un solo bucle, es fácil de ver cuando recuerdas que $\mu^2=m^2+\frac{g^2\phi_0^2}{2}$, así que cuando haces una expansión e intentas contraer un diagrama conectado, solo terminas con un bucle.