¿Por qué la ecuación de una elipse es (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1?

Question

He visto muchas pruebas en línea, pero realmente no puedo entenderlo completamente.

Siendo una generalización del círculo, pensé que su ecuación sería tan fácil de entender como la del círculo. Resulta que estaba equivocado, o tal vez soy demasiado estúpido para entender la intuición geométrica detrás de ello.

Answer 1

Mi intuición geométrica, espero que funcione para ti, es que si tienes $x^2+y^2=1$ entonces tienes un círculo, pero si haces x/a o y/b entonces terminas contrayendo o expandiendo el círculo en la dirección x o en la dirección y. Si tienes el círculo original, intersecta el eje x en 1 y -1, pero en la nueva elipse intersecta el eje x cuando x/a es 1 o -1, es decir, a y -a. Espero que esto también te ayude a graficarlos.

Answer 2

Es la ecuación de la elipse centrada en el origen. Considera la elipse centrada en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X. Los focos $F$ y $F'$ están en el eje x. $O$ como centro es el punto medio del segmento FF', las coordenadas de F y F' serán por ejemplo $( c , 0 )$ y $( -c , 0 )$ respectivamente, donde c es una constante positiva. Sea p $( x , y)$ cualquier punto de la elipse. Según la definición de la curva, el punto P debe cumplir con la condición. $$d(FP)+d(F´P)=2a$$ donde $a$ es una constante positiva mayor que $c$, entonces $$d(FP)= \sqrt{(x-c)^2+y^2}$$ $$d(F´P)= \sqrt{(x+c)^2+y^2}$$ y reemplazar. $$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$$ simplificando. $$cx+a^2=a*\sqrt{(x+c)^2+y^2}$$, después se eleva al cuadrado $$c^2x^2+2a^2cx+a^4=a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2$$ $$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$$ como $2a>2c$ y $a^2>c^2$ entonces $a^2-c^2$ es positivo y obtenemos $b^2=a^2-c^2$ entonces $$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$$ finalmente se divide por $a^2b^2$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$