Utilizando el Teorema de Stone-Weierstrass para demostrar que los polinomios trigonométricos son densos en $L^2([0,2\pi])$

Question

Estoy tratando de usar el Teorema de Stone-Weierstrass para mostrar que los polinomios trigonométricos son densos en $L^2([0,2\pi])$, sin embargo, las siguientes cosas me preocupan.

1. Los polinomios trigonométricos no separan puntos ya que $f(0) = f(2\pi)$. Mi solución es demostrar que los polinomios trigonométricos son densos en todo $[0,2\pi - \epsilon]$, luego dejar que $\epsilon \rightarrow 0$, podríamos decir que los polinomios trigonométricos son densos casi en todas partes en $[0,2\pi]$. (Dudo si esto es correcto)

2. El teorema de Stone-Weierstrass solo proporciona densidad en $C(K)$ (todas las funciones continuas complejas en K compacto). ¿Cómo podríamos extender esto al espacio de $L^2$?

Espero que puedas darme pistas sobre esto. ¡Gracias!

Answer 1

Aplica el Teorema de Stone - Weierstrass a $C(T)$ donde $T$ es el círculo unitario. Los polinomios trigonométricos separan los puntos aquí.

Tienes que usar dos hechos más:

a) la convergencia uniforme implica convergencia en $L^{2}$ y

b) las funciones de $L^{2}$ pueden ser aproximadas por funciones continuas.