La respuesta de Niels Nielsen es excelente cuando se trata de aplicar el método científico a la pregunta. Me gustaría agregar más a la discusión, cuando se trata de cómo podríamos intentar cuantificar estas cosas.
"La complejidad" es una cosa difícil de definir o medir. Como señalas, el núcleo de la pregunta se refiere a la capacidad de los cuerpos celestes para ser conscientes, en lugar de la complejidad, que es la dirección que tomaré desde mi perspectiva. Dicho esto, quizás haya alguna relación entre la conciencia y la complejidad, como veremos.
Antes de continuar, debemos señalar al elefante en la habitación; que es la suposición de que el cerebro es lo que genera la conciencia. Este es un problema abierto en el campo de la psicología. Sin embargo, una forma ingenua de medir la complejidad podría ser mirando si la entropía del sol es mayor que la de un cerebro. Sin duda, aquí es donde el sol tiene una entropía mucho mayor, pero puedo mencionar muchas otras cosas que tienen una entropía mayor, pero no son inherentemente conscientes. Sin embargo, ¿qué es exactamente la conciencia?
El físico estadounidense Michio Kaku tiene una filosofía muy elegante sobre las matemáticas de la conciencia (como se explica en este video), en el que la conciencia es quizás solo una medida de qué tan 'meta', o autorreferencial es un sistema. En el video, da el ejemplo de cómo un calentador en una casa tiene la unidad mínima (o grado) de conciencia, 1 bucle de retroalimentación. Afecta la temperatura que luego lo afecta. El ser humano promedio, por el contrario, tiene literalmente miles de millones de bucles de retroalimentación eléctrica dentro de su sistema nervioso, sin mencionar otros bucles de retroalimentación externos, como la red de la sociedad. Por lo tanto, la medida de la conciencia de un cerebro es al menos del orden de miles de millones más alta que la de tu calentador doméstico.
Continuando con esta definición, en el peor de los casos, el sol tiene al menos unos pocos grados de conciencia, en cuanto a los bucles de retroalimentación inherentes a la fusión nuclear, y el equilibrio entre la gravedad y el calor descontrolado. Pero ¿hay algunos bucles 'circuito' como los del cerebro? ¡Absolutamente! Considera cómo los iones en el sol adoran viajar a lo largo de las líneas del campo magnético, dando lugar al fenómeno de las eyecciones de masa coronal y las manchas solares. Sin embargo, ¿estas fluctuaciones electromagnéticas son más complicadas que los cerebros?
Como una simple estimación rápida para obtener una idea aproximada del orden de magnitud, contaremos el número de unidades significativas más pequeñas en cuanto a la complejidad de la superficie del sol. Estas son gránulos, y tienen un diámetro promedio de $1.5 \text{km}$, que, suponiendo un gránulo circular, cubre un área de $1.8 \text{km}^2$. Ahora, el sol tiene una superficie enorme de aproximadamente $6.1\cdot10^{12}\text{km}^2$, por lo tanto, el número de gránulos sale a
$$\frac{6.1\cdot10^{12}\text{km}^2}{1.8 \text{km}^2}\approx 2.6\cdot 10^{12}$$
Por lo tanto, considerando que este cálculo solo tuvo en cuenta la superficie del sol, es seguro decir que la complejidad electromagnética del sol es al menos mil veces más compleja que el cerebro humano. Esta es aproximadamente la misma diferencia de escala de magnitud del cerebro humano al cerebro de una hormiga.
Definitivamente se pasan por alto muchas cosas con este análisis, y hay muchas suposiciones problemáticas. Sin embargo, creo que hay mérito en que los sistemas grandes tengan algún grado de conciencia, análogo a algunas nociones de un cerebro de Boltzmann. Es totalmente posible que el sol tenga la inteligencia de un insecto, o la de un semidiós, pero debido quizás a una falta de entrada sensorial de su entorno (excepto la influencia gravitacional), no tiene idea de lo que está sucediendo fuera de sí mismo, sin mencionar y una experiencia totalmente diferente (y para nosotros, probablemente abstracta) de existir.