Sean $x$ e $y$ enteros positivos tales que $x^3-y^3=3^n$, donde $n\ge 3$. Primero mostramos que $3$ divide a $x$ y $3$ divide a $y. Luego usamos esto para demostrar que de hecho no hay soluciones positivas.
En la publicación original, se observa que $x\equiv y\pmod{3}$, por lo que $x-y$ es divisible por $3$. Ahora usamos el hecho de que $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
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Nota que si $x$ y $y$ son positivos y no ambos iguales a $1$, se sigue que $x^2+xy+y^2\gt 3$, y por lo tanto $x^2+xy+y^2=3^k$ para algún $k\ge 2$. Ahora, a partir del hecho de que $9$ divide $(x-y)^2$ y de la identidad $$(x^2+xy+y^2)-(x-y)^2=3xy$$ concluimos que $9$ divide $3xy$. Por lo tanto, $3$ divide $xy$. Se sigue que $3$ divide a $x$ o $y$, y por lo tanto, dado que $x\equiv y\pmod{3}$, divide a ambos.
Ahora que tenemos el resultado de divisibilidad, lo demás se sigue del principio del menor número, o equivalentemente por descenso infinito.
Es fácil verificar que no hay soluciones positivas con $n=0$, $n=1$ o $n=2$. Supongamos que para algún $n\ge 3$ existen soluciones positivas. Luego, existe un $n$ mínimo con esta propiedad. Sea $x^3-y^3=3^n$. A partir de nuestro resultado de divisibilidad, tenemos que $x=3s$, $y=3t$ para algún $s$ y $t$ positivos. Pero entonces $3^3s^3-3^3t^3=3^n$ y por lo tanto $s^3-t^3=3^{n-3}$, contradiciendo la minimalidad de $n$.
Observación: No es del todo cierto que si $x$ y $y$ son enteros tales que $x^3-y^3$ es una potencia de $3$, entonces $3$ divide a $x$ e $y$. Existe el ejemplo obvio $x=1$, $y=0$. Pero también está el ejemplo más interesante $x=2$, $y=-1$, para el cual tenemos $x^3-y^3=9$.
