$A = fab$ para cada forma

Question

He encontrado la siguiente ecuación en mi libro de Física Clásica, en el primer capítulo sobre Análisis Dimensional: $A=fab$, donde $A$ es el área superficial de una forma geométrica genérica, $a,b$ son la "longitud característica" de la forma y $f$ es el "factor de forma" de la forma. Se afirma que para cada "forma geométrica" (asumo que se refiere a cada forma 2-dimensional) existen estas longitudes características y $f$. Me he convencido de que si se encuentran $f,a,b$, entonces la ecuación se cumple ya que cualquier otra forma similar solo sería una versión escalada, que es una transformación lineal. Sin embargo, no logro convencerme de que existan tales longitudes características para cada forma.

Para un cuadrado $a,b$ serían la longitud del lado y, por lo tanto, la ecuación sería $A=1ll$, para un triángulo sería $A=\frac{1}{2}bh$. Tampoco puedo entender cómo se eligen esas longitudes en el caso general (imagino que el área se da por una integral de una función aleatoria?).

Answer 1

Así que aquí estoy después de mi curso de Cálculo Vectorial, y creo que he encontrado algo que encaja con la descripción de mi pregunta. Es la fórmula para el área de un dominio regular usando el teorema de Green:

$ A = \iint_D dA = \frac{1}{2}\oint_C (-y\,dx+x\,dy) $

De esta manera podemos tomar $a=\oint_c-ydx$, $b=\oint_cxdy$ y finalmente $f=\frac{1}{2}$, donde $a$ y $b$ se pueden ver como características de la forma de la que estamos calculando el área.

Wikipedia - Teorema de Green - Cálculo de áreas