Serie de Maclaurin de $e^{-x^2}$ Error

Question

La tarea es primero estimar la serie Maclaurin de segundo grado de $e^{-x^2}$ y así estimar la integral de la función de $0$ a $0.5$. Esta parte no es problema.

La siguiente tarea es estimar el error de esta estimación. Utilicé el enfoque regular de calcular la tercera derivada y usarla con la fórmula para el resto de los polinomios de Taylor, lo cual aparentemente está mal. Sin embargo, hacer lo mismo con la cuarta derivada funciona, pero no tengo idea por qué.

Sé que en la fórmula de Maclaurin el término que incluye la tercera derivada se vuelve $0`, sin embargo, no sé cómo está conectado con el cálculo del error.

También estoy al corriente del método de sustitución de $t=-x^2$ en la expansión de $e^t`, pero no entiendo por qué el método normal no funciona.

Disculpa si soy demasiado vago.

Answer 1

Primero vamos a tratar la función en sí misma. La expansión de MacLaurin tiene la forma $1-\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots$. al integrar de $0$ a $x$, encontramos que la expansión de MacLaurin para el área hasta $x$ tiene la expansión de MacLaurin $x-\frac{x^3}{3\cdot 1!}+\frac{x^5}{5\cdot 2!}-\frac{x^7}{7\cdot 3!}+\cdots$.

Para la función, se pidió truncar justo después del término $\frac{x^2}{1!}$. Puede estimar el error en términos de la tercera derivada, evaluada en algún lugar desconocido $\xi$ entre, en este caso, $0$ y $0.5$. De hecho, este $\xi$ está cerca de $0$, pero oficialmente no lo sabe, y la cota superior del error que obtiene es demasiado pesimista.

Sin embargo, como observó, el coeficiente de $x^3$ es $0$, y por lo tanto, el polinomio de MacLaurin hasta $x^2$ es exactamente el mismo que el polinomio de MacLaurin hasta $x^3$. Así que el error se puede expresar en términos de la cuarta derivada, y esto da una cota superior más agradable para el error.

Hay otra forma de ver las cosas que no utiliza la fórmula de Lagrange para el resto. Note que el polinomio de MacLaurin, al menos para $x\le 1$, es una serie alternada. Por lo tanto, el error de truncamiento es menos, en valor absoluto, que el primer término "omitido". Este término tiene un valor absoluto de $\frac{x^4}{2!}$. Entonces, el valor absoluto del error cuando evaluamos en $x=0.5$ es menor que $\frac{(0.5)^2}{2!}$.

La estimación del error para la integral utiliza exactamente las mismas ideas.