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Visualizar $\mathbb CP^2$: un problema de fijación de las células con una dimensión de la brecha de >1

Para los no iniciados

Morse teoría, como muchos otros de los primeros alebraic-topología de widgets, conduce a una foto de lisa colectores, que se construye a partir de 'células', copias de $\mathbb{D}^n$ variación $n$, "pegan" a cada uno de los otros por la costumbre topológico herramientas; dando lugar a (en cierto sentido) de una forma más natural de imagen de homología como 'viene de' celular de homología.

Ejemplo

Como un ejemplo, considere el torus $\mathbb{T}^2$: comenzamos con el espacio vacío, adjuntar un 0-móvil ($\mathbb{D}^0=$ un punto), adjuntar un 1-móvil ($\mathbb{D}^1=$ una línea hasta su punto (ambos extremos de la línea se adjuntan a este punto, la creación de un círculo), adjunte otra de 1 celda (de la misma manera, en el mismo punto, creando una especie de figura 8).

El más duro poco a visualizar es la siguiente: instalación de una 2-celda ($\mathbb{D}^2=$ un disco, que vamos a pensar de como su homeomorphism equivalente, un cuadrado). Comenzar por la torsión de la figura 8 para que un círculo en el plano xy, y el otro en la xz-plano, ahora conecte la parte superior y la parte inferior de la plaza (de color rojo en la foto de abajo) a la xy círculo (la creación de un 'curling de la ronda de tubo) y los bordes izquierdo y derecho (de color azul debajo) de su plaza (ahora un tubo) a cada lado de la xz círculo, completando el toro.

Torus cell decomposition

Problema

La anterior tiene algunas ideas, pero un poco de lectura en torno a la muestra de que esto es bastante fácil de ver. Lo que hace tan fácil es que las células que se adjuntan son de las dimensiones adyacentes, es decir, podemos identificar fácilmente el límite de uno con la totalidad de la otra. Donde se hace más difícil de visualizar es cuando las dimensiones de las células y los estamos colocando uno al otro se diferencian por >1 - el ejemplo canónico de ello es el complejo plano proyectivo $\mathbb{CP}^2$, un 4-colector construido por conectar un disco a un punto (hacer una esfera) y, a continuación, adjuntar una bola de 4 a esa esfera.

El último adjuntar mapa (donde los puntos son identificados con sus imágenes), lo sé, puede ser pensado como la de Hopf fibration $\partial \mathbb{D}^4=S^3 \to \mathbb{CP}^1=S^2 $, pero no tengo manera de visualizar esta, en particular con respecto al interior de la 4-disco.

¿Cómo funciona un 4 células se envuelven alrededor de un 2 celda sin producir una singularidad de algún tipo? Es este otros análogos, en cierto sentido, para Dehn de la cirugía en el que se utiliza un engrosamiento? Hay una forma correcta de pensar acerca de esto o sólo puede ser realmente el pensamiento de 'intelectualmente'?

6voto

Jonesinator Puntos 1793

1) Cerca del punto de $S^2$ la imagen se parece a $\mathbb{C}$ sentado en el interior, naturalmente, $\mathbb{C}^2$ (debido a $\mathbb{C}P^2\cong(\mathbb{C}^3\setminus{0})/\mathbb{C}^{\times}$ $S^2=\mathbb{C}P^1$ es la imagen de un hyperplane en $\mathbb{C}^3$).

2) Piense primero en el $S^2$: uno se conecta un disco en un punto, la contratación del círculo en el disco de la frontera. Ahora, para hacer las $\mathbb{C}P^2$ uno lleva 4 discos y hacer casi lo mismo pero no para un círculo, pero para todos, bueno, las fibras de la Hopf fibration a la vez - o, en otras palabras, para todos los puntos de $S^2$ a la vez. Así que, ya que no había singularidades después de pegar $S^2$, no habrá singularidades aquí.

(No estoy seguro si es una respuesta, pero sólo espero que ayude.)

5voto

Chris Puntos 133

Tom, no estoy seguro de ver cómo se está haciendo más difícil que en el paso de un toro a un espacio proyectivo. En su $\mathbb CP^2$ de los casos, usted tiene $\mathbb CP^1$ sentado dentro de él, y el límite de un regular (tubular) barrio de la $\mathbb CP^1$$S^3$. Y $D^4$ $S^3$ como de sus límites, de modo que la fijación de mapa es tautológica. El paquete normal es la falta de datos y que es lo que tu CW-descomposición está ignorando.

Esto es esencialmente lo que siempre sucede. Quizás el conceptual joroba que estamos tratando es que estás pidiendo para CW-descomposición de los colectores. Morse funciones genéricamente sólo construir homotopy-equivalencias de CW-complejos, que no ponen CW-estructuras en el colector sin algún trabajo significativo. Por otra parte, CW-descomposiciones caso omiso de la mayoría de las propiedades esenciales del colector, como el suave estructuras.

Si en lugar de trabajar con la manija de descomposición, lo que he estado en mi primer párrafo es básicamente una generalidad -- puntos críticos cantidad el envío de archivos adjuntos y las instrucciones para pegar se da siempre en un camino directo desde las líneas de flujo de la función de Morse (convenientemente normalizadas) gradiente. De modo que la manija de la descomposición es en el dado múltiple -- a diferencia de la CW-caso de que usted sólo tiene un homotopy-equivalencia a un CW-complejo.

3voto

Binarytales Puntos 141

Tenga en cuenta que sólo estás de fijar el límite de 4 células. Este es un mapa de $S^3 \rightarrow S^2$. El resultado topológico del espacio tiene un carácter completamente copia intacta del interior de la 4-celda. Esto es parecido a $\mathbb{RP}^2$, pegando un disco a un círculo el grado de mapa 2 $\partial D^2 = S^1 \rightarrow S^1$ (dado, digamos, en el complejo de coordenadas por $z\mapsto z^2$).

En cuanto a la cuestión de tener grandes dimensiones esferas "envolvente" de pocas dimensiones de celdas: hasta homotopy, esto puede ser formulada como una pregunta acerca de homotopy grupos, es decir, los mapas de las esferas en el espacio $X$. (Esto no abordar la cuestión de las singularidades, pero creo que es útil para tratar de pensar acerca de estas encolado de las construcciones.) Estos son los grupos de $\pi_k(X)$ todos los $k\geq 1$; al $k=1$, sólo el grupo fundamental. En general, son muy poco conocidos. Incluso para el más simple posible CW complejos de $X=S^n$ (con la excepción de $n=1$), no sabemos todas las homotopy grupos! Esto puede sonar como un problema fácil, pero es realmente....REALMENTE...no trivial. Ahora, cuando haga CW complejos, que está pegado en las células de la $e^k$ uno por uno; estos son realmente los mapas de $\partial e^k = S^{k-1}$ a las cosas que ya tenía (el "$(k-1)$-esqueleto"). A menudo las personas sólo se preocupan por la homotopy de estos tipos de mapas. En resumen, aunque es sin duda una buena idea para tratar y visualizar estas cosas, es también bueno para ser capaz de tratar de manera abstracta con el encolado de las construcciones.

El artículo de la wikipedia en homotopy grupos de esferas es realmente interesante, y que contiene una especie de imagen de la Hopf fibration. Básicamente, usted querrá pensar en él como un montón de círculos que de alguna manera llenar $S^3$, sólo $\mathbb{R}^3$ con un punto extra en $\infty$. Curiosamente, dos de estos círculos están vinculados. Así que usted puede pensar localmente como el círculo unidad en el plano xy, y, a continuación, puede mover el círculo en 2 dimensión de la pena de las direcciones, y en cada una de esas direcciones que usted puede presionar el círculo fuera de sí mismo usted va a obtener una nueva, cerca del círculo que está vinculado a la original. (Por supuesto, no es precisamente un $S^2$'s vale la pena de círculos!) Usted puede tomar el círculo de ir a través de $\infty$ a ser el eje z. Así que por lo que acabo de decir, todos estos otros círculos de la necesidad de darle cuerda una vez alrededor del eje z.

2voto

Nathan Bedford Puntos 3157

Sobre el Hopf fibration, la película de "Dimensiones" hace un trabajo excelente de visualización (capítulos 7-8 en la tabla de contenido).

Respecto a la visualización de la cola, tal vez ayuda a visualizar otras construcciones similares a conseguir al menos algo de intuición. Por ejemplo, usted podría tratar de obtener una imagen de cómo el toro se ve como después de cada "meridiano" (círculo azul en la imagen) ha sido aplastado a un punto.

1voto

Donovan Woodside Puntos 1288

Creo que te entiendo fijación de las células que tienen la dimensión de la brecha mejor de lo que piensas! Considere la posibilidad de cualquier $S^n$$n>>0$, podemos pensar en esto como la fijación de $D^n$ a un punto que es 0-dimensional.

Además, yo recomendaría que usted piensa de esta fijación de las células de la cosa un poco más cuidado. si usted entiende el hopf fibration entonces no entiendo la fijación de la célula. El hopf fibration es que no es fácil de fotografiar (que yo sepa). Yo recomendaría a pensar sobre el mapa en términos de lo que sucede cuando se trabaja con coordenadas. Voy a estar de vuelta más tarde para agregar más... te lo prometo.

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