¿Por qué la Transversalidad de Griffiths es parte de la definición de una variación de estructuras de Hodge?

Question

Si $X \to S$ es una familia de variedades de Kahler compactas, entonces el transporte paralelo con respecto a la conexión de Gauss-Manin en el fibrado de cohomología relativa no respeta la filtración de Hodge, por ejemplo, una una forma relativa horizontal cuya restricción a una fibra dada es holomórfica no necesita ser holomórfica cuando se restringe a otra fibra.

Es un teorema de Griffiths que al menos se tiene la condición más débil $$ \nabla \text{Fil}^i\mathcal{H}^*_{\text{dR}}(X/S) \subset \text{Fil}^{i-1}\mathcal{H}^*_{\text{dR}}(X/S) \otimes \Omega_S. $$

Noté en el artículo de Wikipedia que en realidad esta condición está integrada en la definición de una variación abstracta de estructuras de Hodge. ¿Por qué es esto? ¿Supongo que hay una aplicación de la transitividad de Griffiths que motiva esto?

Pregunta relacionada: ¿por qué se llama a este resultado "transitividad?"

Answer 1

Suponga que tiene un haz vectorial filtrado en un espacio $X$, equipado con una conexión plana (es decir, integrable) (que no necesariamente preserva la filtración). Si $X$ es simplemente conectado, entonces podemos usar la conexión plana para identificar las fibras del haz, y así ponernos en la situación de tener un espacio vectorial fijo con una filtración variable, parametrizada por $X.

El espacio de filtraciones será alguna variedad de bandera parcial $\overline{D}$ (la razón de la barra superior será clara en un momento), y así obtenemos un mapeo $X \to \overline{D}$. Si nuestras filtraciones satisfacen algunas condiciones adicionales como simetría de Hodge, polarizabilidad, etc., entonces este mapeo realmente aterrizará en algún subdominio abierto $D$ de $\overline{D}$, llamado un dominio de periodo.

Finalmente, si $X$ no es simplemente conectado, podemos traer todo de vuelta a su recubrimiento universal y aplicar la historia anterior. La acción de monodromía de $\pi_1(X)$ en la fibra de nuestro haz-con-conexión-plana dará un mapeo $\pi_1(X) \to \Gamma$, donde $\Gamma$ es un grupo discreto que actúa en $D$.

Así que en conjunto obtenemos el mapeo de periodo $$X \to \Gamma \backslash D.$$

Por ejemplo, si $X = \mathbb P^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ y nuestro haz-con-conexión es la variación de estructura de Hodge proveniente de $H^1$ de la familia Legendre de curvas elípticas $y^2 = x(x-1)(x-\lambda)$, entonces $D$ será el semiplano superior $\mathcal H$, el grupo $\Gamma$ será el subgrupo de congruencia $\Gamma(2)$ en $SL(2,\mathbb Z)$, y el mapeo de periodo será el isomorfismo estándar $$\mathbb P^1 \setminus \{0,1,\infty\} \cong \Gamma(2) \backslash \mathcal H.

Ahora, la razón por la cual Griffiths introdujo el concepto de variación de estructuras de Hodge es utilizarlas como una herramienta para estudiar estos mapas de periodo para familias más generales de variedades, y usarlos para deducir hechos geométricos (sobre ciclos y demás en los miembros de la familia). Así que quería un conjunto de axiomas que capturaran las propiedades clave de la situación. Y la transitividad de Griffiths es una de estas propiedades clave.

Lo que dice es que el mapa de periodo $X \to \Gamma \backslash D$ está restringido de cierta manera. Hay diferentes formas de enunciar esta restricción (todas simplemente reformulaciones de la transitividad de Griffiths): una forma tiene naturaleza geométrica diferencial, y literalmente dice que el mapa de periodo tiene que ser transversal a una cierta distribución en $\Gamma \backslash D$. (Aquí distribución es en el sentido de la topología diferencial.) De ahí viene el nombre.