Sea $F_n$ el grupo libre de rango finito $n>1$. ¿Es $F_n$ simple? Sé que todo subgrupo de $F_n$ es libre, pero no sé cómo determinar si es un subgrupo normal.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los grupos libres tienen muchos subgrupos normales. Esto se puede ver combinando la dualidad de subgrupo normal/homomorfismo dada por el primer teorema de isomorfismo con la propiedad universal de los grupos libres, que dice que cada grupo es el cociente de algún grupo libre. En particular, si $G$ es un grupo generado por $n$ elementos, entonces existe un subgrupo normal $N$ del grupo libre sobre $n$ generadores $F_n$ tal que $F_n/N \cong G.
Por ejemplo, el subgrupo $N=\langle a^2, b^2, ba^2b^{-1}, ab^2a^{-1}, (ab)^2\rangle$ del grupo libre $F(a, b)$ es normal, y el grupo cociente $F(a, b)/N$ es el grupo de Klein 4. (Demostrar que $N$ es normal no es difícil, y de hecho este es el subgrupo $F_2(X^2)$ mencionado al final de este post.)
Consideremos únicamente los grupos libres de rango finito $n \geq 2$, denotados como $F_n$. Ahora, como mencioné anteriormente, sabemos que estos grupos tienen muchos subgrupos normales... entonces ¿cómo son? Bueno, sabemos que son libres, pero el siguiente resultado dice que sus generadores son difíciles de escribir:
Teorema. Un subgrupo normal no trivial $N$ de $F_n$ tiene índice finito si y solo si es finitamente generado.
Por lo tanto, si $F_n/N$ es infinito, entonces $N$ tiene rango infinito; ¡es difícil de escribir!
Hay otros resultados que dicen que los subgrupos son difíciles de escribir. Por ejemplo, hay grupos finitamente generados $F_n/N$ que no son recursivamente presentables (ya que hay innumerables grupos generados por 2 elementos pero solo un número contable de grupos generados por 2 elementos recursivamente presentables); esto significa que no podemos describir algoritmicamente (usando una computadora) el subgrupo normal correspondiente $N$.
Además, de forma extraña, hay subgrupos normales $N$ de $F_n$ de los cuales no podemos determinar si un elemento arbitrario $W$ de $F_n$ está contenido en $N$. Esta afirmación es simplemente una reformulación de la insolubilidad del problema de la palabra para los grupos.
Ahora, algunos resultados positivos. Un subgrupo verbal es un subgrupo generado por todas las palabras de una forma específica. Más precisamente: Sea $W_{\mu}(X_{\lambda})$, donde $\mu = 1, 2, \ldots$, un conjunto de palabras en los símbolos $X_{\lambda}$, donde $\lambda = 1, 2, \ldots$. Entonces el subgrupo verbal $\{W_{\mu}\}$ $G(W_{\mu})$ de un grupo $G$ es el subgrupo de $G$ generado por todos los elementos de la forma $W_{\mu}(g_{\lambda})$ donde $g_{\lambda}$ varía sobre $G.
Los subgrupos verbales siempre son normales (¿por qué?). Los primeros ejemplos son:
- $G(X_1X_2X_1^{-1}X_2^{-1})$ es el subgrupo derivado
- $G(X)$ es todo el grupo $G$
- $G(X_1X_2)$ también es todo el grupo $G$ (toma $X_1=g$ y $X_2=1$ para todos los $g\in G$)
- $F_n(X^2)$ tiene índice finito, y por lo tanto rango finito. Esto se debe a que cada elemento no trivial de $F_n/F_n(X^2)$ tiene orden dos, y así (por un ejercicio estándar) este grupo es abeliano. Entonces también es finito (esto usa que $F_n$ es finitamente generado).
