Igualdad integral relacionada con las funciones de Nussbaum

Question

Considera una función real $f: \mathrm{R} \to \mathrm{R}$, $f$ es continua por la derecha por partes, y este par de ecuaciones:

$$ \sup_{x> a} \frac 1 {x-a} \int_a^x f(s) \, ds = \phantom{-}\infty \tag1\\ \inf_{x> a} \frac 1 {x-a} \int_a^x f(s) \, ds = -\infty. $$

Una observación que encontré dice: Si (1) se cumple para cierto $a \in \mathrm{R}$, entonces se cumple para todos los $a \in \mathrm{R}$.

Necesito ayuda para demostrar esta observación.

Veo dos posibles formas de abordar este problema:

1. usando el teorema del valor medio (primero) para integrales definidas
2. usando el teorema fundamental del cálculo

En ambos casos, sin embargo, no estoy seguro de cómo manejar los intervalos cerrados requeridos y el intervalo abierto $(x, \infty)$ del supremo/ínfimo.

Con suerte, alguien puede darme una pista.

Answer 1

Nota primero que $$ \sup_{x> a} \frac 1 {x-a} \int_a^x f(s) \, ds = +\infty $$ si y solo si existe una secuencia $x_k\nearrow+\infty$ tal que $$ \lim_{k\to\infty}\frac 1 {x_k-a} \int_a^{x_k} f(s) \, ds = +\infty. $$ Ahora tome cualquier $b\in\mathbb R$. Entonces $$ \begin{split} \lim_{k\to\infty}\frac 1 {x_k-b} \int_b^{x_k} f(s) \, ds &= \lim_{k\to\infty}\frac {x_k-a} {x_k-b} \cdot\frac 1 {x_k-a} \left(\int_a^{x_k} f(s) \, ds -\int_a^b f(s) \, ds\right)\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac 1 {x_k-a} \int_a^{x_k} f(s) \, ds= +\infty \end{split} $$ ya que $$ \lim_{k\to\infty}\frac {x_k-a} {x_k-b}=1 $$ y $$ \lim_{k\to\infty}\frac 1 {x_k-a} \int_a^b f(s) \, ds=0. $$

Se puede hacer lo mismo para el ínfimo.