Divisibilidad de $987x^n − F_nx^{16} + F_{n−16}$

Question

Si $F_n$ es el $n^{th}$ número de Fibonacci, y los polinomios $P_n(x)$ están definidos como $987x^n F_nx^{16} + F_{n16}$, prueba que para todo $n 1$, $P_n(x)$ es divisible por $x^2x1.

Esto es de una clase de preparación para un concurso. La pista fue utilizar inducción, pero me parece que no es realmente el mejor camino.

Caso $n=17$, de Wolfram: (¡el hecho sorprendente es que el segundo factor no puede factorizarse más, a pesar de que su grado es 15!)

Answer 1

Nota $\let\phi\varphi$si $\phi=\frac{1+\sqrt5}2$ y $\psi=-\phi^{-1}$ son las raíces de $x^2-x-1$, entonces $F_n=\frac1{\sqrt5}(\phi^n-\psi^n)$ (también para $n$ negativo).
Observa que $P_n(\phi)=F_{16}\phi^n-F_n\phi^{16}+F_{n-16}=\frac1{\sqrt5}((\color{red}{\phi^{16}}-\color{green}{\psi^{16}})\phi^n-(\color{red}{\phi^n}-\color{blue}{\psi^n})\phi^{16}+(\color{green}{\phi^{n-16}}-\color{blue}{\psi^{n-16}}))=0$.
Por lo tanto, el conjugado de $\phi$ en $\mathbb Q[\sqrt5]$, $\psi=-\phi^{-1}=\frac{1-\sqrt5}2$ también satisface $P_n(\psi)=0$. (Podrías verificar esto manualmente, pero soy demasiado perezoso para hacerlo).
Por lo tanto, $x^2-x-1=(x-\phi)(x-\psi)$ es un divisor de $P_n(x)$.

Answer 2

$P_n(x)$ satisface la siguiente recurrencia:

$$P_n(x) = (1+x)P_{n-1}(x) + (1-x)P_{n-2}(x) - xP_{n-3}(x)$$

Por lo tanto, mediante inducción es suficiente verificar que $(x^2-x-1)$ lo divide para $n =1,2,3$, lo cual puedes verificar fácilmente.