Ejemplo de que la forma canónica de Jordan no es "robusta".

Question

Estoy trabajando en este problema que pide demostrar que la forma canónica de Jordan no es robusta en el sentido de que pequeños cambios en las entradas de una matriz $A$ puede provocar grandes cambios en las entradas de su forma Jordan $J$ .

La sugerencia es considerar la matriz $$ A_\epsilon=\begin{bmatrix} \epsilon & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} $$ y para ver qué pasa con la forma jordana de $A_\epsilon$ como $\epsilon\to 0$ .

Para mí, el polinomio mínimo de $A_\epsilon$ es entonces $x^2-\epsilon x$ por lo que sus valores propios son $0$ y $\epsilon$ y la forma canónica de Jordan es $$\begin{bmatrix} \epsilon & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}. $$

Pero luego parece que los pequeños cambios en las entradas de $A$ corresponden a cambios igualmente pequeños en la forma de Jordan de $A$ .

¿He hecho algo mal? El problema es el 13 del capítulo 8 de Álgebra Lineal Avanzada de Steven Roman.

Answer 1

Vamos a ver si podemos hacer algunos ejemplos para que te hagas una idea mejor.

Vamos a escribir la Forma Normal de Jordan para tres casos diferentes.

Ejemplo 1: Caso general

$A_{\epsilon} = \begin{bmatrix} \epsilon & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} = P J P^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & \epsilon\\ 1 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \epsilon \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\frac{1}{\epsilon} & 1 \\ \frac{1}{\epsilon} & 0 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2: $\epsilon = 1/10000$

$A_{\epsilon} = \begin{bmatrix} \frac{1}{10000} & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} = P J P^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{10000}\\ 1 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10000} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -10000 & 1 \\ 10000 & 0 \end{bmatrix}$

Ejemplo 3: $\epsilon = 0$

$A_{\epsilon} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} = P J P^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Compara el bloque Jordan, $J$ en estos tres casos y ¿qué notas?

Ahora, generaliza el argumento utilizando límites y matrices.

Saludos

Answer 2

Cuando $\epsilon=0$ la forma de Jordan es $J_0 =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ cuando $\epsilon \neq 0$ la forma de Jordan es $J_\epsilon =\begin{bmatrix} \epsilon & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ .

Esto puede parecer un pequeño cambio (como que uno no está "lejos" de cero), pero representa un enorme cambio estructural, y desde una perspectiva numérica, significa que, en general, no se puede calcular la forma de Jordan a menos que se utilice la aritmética exacta.

En general, un comportamiento numérico razonable requiere al menos alguna forma de continuidad. El ejemplo anterior muestra claramente que la forma de Jordan no es una función continua de la entrada.

Answer 3

No estoy seguro de lo que califica como grande para usted. ¿Quieres que cambien los tamaños de los bloques? Tome la siguiente matriz: $$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon & 0\end{bmatrix}$$ Si $\epsilon \neq 0$ entonces su forma Jordan es un solo bloque de tamaño $3$ . Si $\epsilon = 0$ entonces su forma Jordan tiene un bloque de tamaño $2$ y un bloque de tamaño $1$ .

Answer 4

No entiendo bien el sentido del ejemplo. Para $2\times2$ matrices los únicos conjuntos posibles de tamaños de bloques son $(2)$ y $(1,1)$ obviamente se puede pasar de un caso a otro cambiando (continuamente) las entradas de la matriz, pero no veo qué significa "grandes cambios" en la forma normal de Jordan. Por supuesto, cuando se pasa de $(2)$ a $(1,1)$ hay una entrada fuera de la diagonal que cambia de $0$ a $1$ ; dado que estos son los únicos valores posibles, no puedo considerar realmente que sea un salto impresionante. Y no necesitaría mucho ejemplo para convencerme de que ese salto debe producirse en algún momento.

Para matrices de mayor tamaño, las entradas individuales fuera de la diagonal pueden seguir saltando por $1$ a lo sumo, mientras que las entradas diagonales pueden estar ordenadas de forma que varíen continuamente con las entradas de la matriz (todo depende de cómo se ordenen los valores propios; aunque no es fácil de ver, parece cierto que al variar continuamente los coeficientes de un polinomio mónico, se puede elegir a lo largo de una ordenación en el conjunto múltiple de sus raíces complejas de forma que en cada posición de la lista la variación sea continua (ciertamente no siempre diferenciable)). Pero se pueden ver saltos más drásticos en el tallas de los bloques de Jordania. Para ver que esto es posible, basta con observar que si se escalan estrictamente las entradas de cualquier matriz estrictamente triangular superior por algún factor distinto de cero, entonces su forma normal de Jordan no cambia, pero cuando se reducen todas las entradas a $0$ el tipo Jordan salta a $(1,1,\ldots,1)$ .