Mostrar que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por $f(x,y)=x+y$ es continua utilizando conjuntos abiertos.

Question

El enunciado del problema es,

Mostrar que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definida por $f(x,y)=x+y$ es continua usando conjuntos abiertos.

Sé que para demostrar que $f$ es continua tomo un conjunto abierto arbitrario $O\subset\mathbb{R}$ y muestro que $f^{-1}(O)$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$. Podemos simplificar esto primero mostrando que para cualquier $(a,b)\in\mathbb{R},$ $f^{-1}(a,b)$ es abierto en $\mathbb{R}^2.$ Ahora, tenemos $$f^{-1}(a,b)=\{(x,y):f(x,y)\in(a,b)\}=\{(x,y):a0$ tal que $B_\delta(u)\subset f^{-1}(a,b).$

Una forma en la que pensé en demostrar esto fue fijar primero $y$ en $(x,y)\in f^{-1}(a,b)$ y luego recorrer todos los $x$. Hacer lo mismo para $y$ y luego intentar encontrar un $\delta$ apropiado. Encontré esta pregunta (que es exactamente la mía)

Using the open set definition of continuity to directly prove a function is continuous

Aún así, no entendí completamente las pistas o respuestas dadas.

Gracias por cualquier ayuda o retroalimentación.

Answer 1

Tendrás que verificar los detalles, pero creo que este sería el esquema:

Si $(x,y) \in f^{-1}(a,b)$, entonces $a < x + y < b$, por lo tanto podemos encontrar un $\epsilon > 0$ (¡verifica esto!) tal que $$ a + \epsilon < x + y < b - \epsilon. $$ Entonces (para $u = (x, y)$) tenemos $B_{\epsilon/2}(u) \subset f^{-1}(a,b)$, ya que si $(x', y') \in B_{\epsilon/2}(u)$, entonces $|x - x'| < \epsilon/2$ y $|y - y'| < \epsilon/2$, por lo tanto (¡verifica esto también!) $$ a < x' + y' < b. $$ En conclusión, para cada punto en $f^{-1}(a,b)$ podemos encontrar un vecindario abierto $B_{\epsilon/2}(u)$ tal que $B_{\epsilon/2}(u) \subset f^{-1}(a,b)$, demostrando que $f^{-1}(a,b)$ es abierto.

Answer 2

Una imagen es útil:

Las líneas diagonales son las líneas $x+y=a$ y $x+y=b$, por lo que $f^{-1}[(a,b)]$ es la franja que se encuentra estrictamente entre ellas. El punto $p$ es cualquier punto en esa región; se quiere encontrar una bola abierta con centro en $p$ que esté completamente dentro de la franja, como la que aparece en el boceto. Si tomas el radio de la bola como la mínima distancia de $p$ a los dos bordes de la franja, estarás en el negocio, y calcular ese mínimo en términos de las coordenadas de $p$ es solo un poco de geometría analítica sencilla.

Answer 3

Podrías demostrar que los cuadrados $(x,x+\frac{b-a}{2})\times(a-x,a-x+\frac{b-a}{2})$ cubren $f^{-1}(a,b)$ conforme $x$ varía sobre todos los valores reales.

Answer 4

¡Exodd tiene razón! Además, la preimagen del intervalo abierto en $\mathbb{R}$ es una región de banda en $\mathbb{R}^2$, que también es abierta.

Answer 5

$$ \{(x,y)\mid a a\} $$

Intersección de dos semiplanos abiertos.