Medir la curvatura de un polígono oblicuo en 3D

Question

Un requisito para que un sólido 3D sea un poliedro es que sus caras no sean polígonos oblicuos. Es decir, los vértices de cada cara individual se encuentran en un plano. Las caras triangulares son inherentemente planas (porque 3 puntos determinan un plano). Las caras cuadrilaterales pueden ser planas (por ejemplo, el polígono con vértices $(1,0,0)$, $(0,-1,0)$, $(-1,0,0)$ y $(0,1,0)$) o oblicuas (por ejemplo, reemplazar cualquier vértice con $(0,0,1)$). Las caras con más vértices siguen de manera similar.

Mi pregunta es: ¿Existe una medida útil de cuán oblicuo es un polígono 3D? Mi primera suposición es algo que involucre la descomposición de valores singulares o el análisis de componentes principales y tomar el valor singular más pequeño, pero a) no está claro para mí que esto sería comparable entre caras, que me permitiría decir "esto está más doblado que eso", y b) hacer PCA con 4 puntos de datos parece excesivo. Creo que tomar la desviación de los vértices desde el plano de mínimos cuadrados tiene problemas similares (y podría ser equivalente al valor singular más pequeño).

Answer 1

Una medida típica es la distancia de Hausdorff:

Informalmente, dos conjuntos están cerca en la distancia de Hausdorff si cada punto de uno de los conjuntos está cerca de algún punto del otro conjunto.

Cualquier cuatro puntos que forman un cuadrilátero sesgado determinan un casco convexo de volumen no nulo de esos cuatro puntos, lo que puede servir como una medida de cuán no coplanares son.

Entonces, una respuesta simple a "¿qué tan sesgado es un polígono 3D?": Calcula el volumen de su casco convexo. Más sofisticado es usar la distancia de Hausdorff con respecto a tu cuadrilátero plano esperado.