Dados los mapas $f:X\to Y$ y $g:X\to Y$, una forma natural de escribirlos juntos en el mismo diagrama sería así: $$X{{f\atop {\Large\longrightarrow}}\atop{{\Large\longrightarrow}\atop g}}Y$$ Un mapa $\mathrm{eq}:E\to X$ es un igualador (Wikipedia) de los mapas $f$ y $g$ si es final en la categoría de mapas a $X$ que igualan $f$ y $g$. Al representarlo junto con los mapas $f$ y $g, decimos que $$E\xrightarrow{\;\mathrm{eq}\;} X{{f\atop {\Large\longrightarrow}}\atop{{\Large\longrightarrow}\atop g}}Y$$ es un diagrama igualador.
Sea $X$ un espacio topológico, sea $F$ un prehaz en $X$, y sea $\{U_i\}_{i\in I}$ un recubrimiento abierto de $X$. El prehaz $F$ viene con mapas de restricción $\mathrm{res}_{V}^{U}:F(U)\to F(V)$ para cada par de conjuntos abiertos $U,V$ con $V\subseteq U$. En particular, para cada par de $i,j\in I$, tenemos mapas de restricción $$\large\mathrm{res}_{U_i\cap U_j}^{U_i}:F(U_i)\to F(U_i\cap U_j)$$ y $$\large\mathrm{res}_{U_i\cap U_j}^{U_j}:F(U_j)\to F(U_i\cap U_j).$$ Por definición, para cada $i\in I$, el producto (Wikipedia) $\prod_{i\in I}F(U_i)$ viene con un mapa de proyección $$p_i:\prod_{i\in I}F(U_i)\longrightarrow F(U_i).$$ Además, $F(U_i)$ viene con un mapa de restricción $\mathrm{res}_{U_i\cap U_j}^{U_i}:F(U_i)\to F(U_i\cap U_j)$ para cada $j\in I. Componiéndolos, tenemos para cada par de $i,j\in I$, un mapa $a_{i,j}$, como sigue: $$\underbrace{(\mathrm{res}_{U_i\cap U_j}^{U_i}\circ p_i)}_{\Large a_{i,j}}:\prod_{i\in I}F(U_i)\longrightarrow F(U_i\cap U_j)$$ Por la definición de un producto, estos $a_{i,j}$ inducen un mapa (llamémoslo $\alpha$) desde $\prod_{i\in I}F(U_i)$ hasta el producto de todos los $F(U_i\cap U_j)$ juntos: $$\alpha:\prod_{i\in I}F(U_i)\longrightarrow \prod_{i,j\in I}F(U_i\cap U_j).$$ De manera similar, para cada par de $i,j\in I$, tenemos un mapa $b_{i,j}$: $$\underbrace{(\mathrm{res}_{U_i\cap U_j}^{U_j}\circ p_j)}_{\Large b_{i,j}}:\prod_{i\in I}F(U_i)\longrightarrow F(U_i\cap U_j)$$ que se juntan para formar un solo mapa $$\beta:\prod_{i\in I}F(U_i)\longrightarrow \prod_{i,j\in I}F(U_i\cap U_j).$$ Estos mapas $\alpha$ y $\beta$ son las flechas superior e inferior en el diagrama $$F(U) \longrightarrow \prod_{i\in I} F(U_i) {{{}\atop {\Large\longrightarrow}}\atop{{\Large\longrightarrow}\atop {}}}\prod_{i, j\in I} F(U_i \cap U_j)$$ Decimos que $F$ es un haz (Wikipedia) si, para cualquier recubrimiento abierto $\{U_i\}_{i\in I}$ de nuestro espacio $X$, este diagrama es un diagrama igualador.
Nota que $\alpha$ y $\beta$ no son el mismo mapa; siguen "caminos" diferentes. Veamos lo que sucede: el camino de la esquina superior derecha es $a_{i,j}$, y el camino de la esquina inferior izquierda es $b_{i,j}$. $\require{AMScd}$ $$\require{AMScd} \begin{CD} \prod_{i\in I}F(U_i) @>{\Large p_i}>> F(U_i);\\ @V{\Large p_j}VV @VV{\Large\mathrm{res}_{U_i\cap U_j}^{U_i}}V \\ F(U_j) @>>{\Large\mathrm{res}_{U_i\cap U_j}^{U_j}}> F(U_i\cap U_j); \end{CD}$$ Los dos mapas $\alpha$ y $\beta$ al producto $\prod_{i,j\in I}F(U_i\cap U_j)$ coinciden en un elemento específico $(s_i)_{i\in I}$ del producto $\prod_{i\in I}F(U_i)$ si y solo si $a_{i,j}$ y $b_{i,j}$ coinciden en él para todos los pares de $i,j\in I$. Pero $a_{i,j}$ y $b_{i,j}$ son claramente mapas diferentes en general, por lo que esta no es una condición trivial.
